1. Дифф.тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
1.1. а) $y^{\prime \prime}+4 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0$.
1.2. а) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+9 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$.
1.3. а) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=0$; б) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$.
1.4. а) $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$; в) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$.
1.5. а) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=0$.
1.6. а) $y^{\prime \prime}-4 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+17 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-12 y=0$.
1.7. а) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}=0$; в) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+20 y=0$.
1.8. а) $y^{\prime \prime}-49 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$.
1.9. а) $y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}=0$; б) $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+16 y=0$.
1.10. а) $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0$.
1.11. а) $4 y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+3 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0$; в) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0$.
1.12. а) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+20 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-10 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-16 y=0$.
1.13. а) $9 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+y=0$; б) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-21 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+y=0$.
1.14. а) $2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=0$; б) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+8 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0$.
1.15. а) $y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+21 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=0$.
1.16. а) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=0$; б) $y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+29 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+7 y=0$.
1.17. а) $y^{\prime \prime}+25 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0$.
1.18. а) $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0$; б) $y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}-8 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=0$.
1.19. а) $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$; в) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0$.
1.20. a) $y^{\prime \prime}+25 y^{\prime}=0$; б) $y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+16 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0$.
1.21. а) $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-18 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}=0$; в) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$.
1.22. а) $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+13 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-15 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}=0$.
1.23. а) $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$; б) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+25 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=0$.
1.24. а) $y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}=0$; б) $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=0$; в) $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0$.
1.25. а) $y^{\prime \prime}+5 y=0$; б) $9 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+y=0$; в) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+8 y=0$.
1.26. a) $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+10 y=0$; б) $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=0$.
1.27. а) $y^{\prime \prime}-y=0$; б) $4 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-5 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+10 y=0$.
1.28. а) $y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+25 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}=0$; в) $9 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-2 y=0$.
1.29. а) $6 y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}-3 y=0$; б) $y^{\prime \prime}+16 y=0$; в) $4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0$.
1.30. а) $9 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+y=0$; б) $y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+37 y=0$; в) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=0$.
2.1. $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2 x-1$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{-x}+x^2-3 x$.)
2.2. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=10 e^{-x} \cos 2 x$. (Хариу: $y=e^x\left(C_1 \times\ \cos 2 x+C_2 \sin 2 x\right)+e^{-x} \cos 2 x$.)
2.3. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-8 y=12 \sin 2 x-36 \cos 2 x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-2 x}+C_2 e^{4 x}+3 \cos 2 x$.)
2.4. $y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+36 y=14 e^{6 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{6 x}+C_2 x e^{6 x}+7 x^2 e^{6 x}$ )
2.5. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=(34-12 x) e^{-x}$. (Хариу: $y=C_1 e^x+C_2 e^{2 x}+(4-2 x) e^{-x}$. $)$
2.6. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+10 y=51 e^{-x}$. (Хариу: $y=e^{3 x}\left(C_1 \cos x+\right.$ $\left.+C_2 \sin x\right)+3 e^{-x}$.)
2.7. $y^{\prime \prime}+y=2 \cos x-(4 x+4) \sin x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+\left(x^2+2 x\right) \cos x$. $)$
2.8. $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+10 y=74 e^{3 x}$. (Хариу: $y=e^{-3 x}\left(C_1 \cos x+C_2 \sin x\right)+2 e^{3 x}$.)
2.9. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 \cos x+19 \sin x$. (Хариу: $y=C_1 e^x+C_2 e^{2 x}+6 \cos x+\sin x$.)
2.10. $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=(48 x+8) e^x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-3 x}++C_2 x e^{-3 x}+(3 x-1) e^x$.)
2.11. $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=72 e^{2 x}$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{-5 x}+3 e^{2 x}$.)
2.12. $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-6 y=3 \cos x+19 \sin x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{6 x}+\cos x-2 \sin x$.)
2.13. $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+12 y=36 x^4-96 x^3+24 x^2+16 x-2$. (Хариу: $y=C_1 e^{2 x}+C_2 e^{6 x}+3 x^4-x^2$.)
2.14. $y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+25 y=18 e^{5 x}$. (Хариу: $y=e^{-4 x}\left(C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x\right)+e^{5 x} / 5$.)
2.15. $y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=126 e^{-2 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{4 x}+C_2 e^{5 x}+3 e^{-2 x}$.)
2.16. $y^{\prime \prime}+36 y=36+66 x-36 x^3$. (Хариу: $y=C_1 \cos 6 x+C_2 \sin 6 x-x^3+2 x+1$.)
2.17. $y^{\prime \prime}+y=-4 \cos x-2 \sin x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+x(\cos x-2 \sin x)$.)
2.18. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-24 y=6 \cos 3 x-33 \sin 3 x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-6 x}+C_2 e^{4 x}+\sin 3 x$.)
2.19. $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=-75 \sin 2 x$. (Хариу: $y=e^{-3 x}\left(C_1 \times \cos 2 x+C_2 \sin 2 x\right)+4 \cos 2 x-3 \sin 2 x$.)
2.20. $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=39 \cos 3 x-105 \sin 3 x$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{-5 x}+4 \cos 3 x+5 \sin 3 x$.)
2.21. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+29 y=104 \sin 5 x$. (Хариу: $y=e^{2 x}\left(C_1 \times\cos 5 x+C_2 \sin 5 x\right)+5 \cos 5 x+\sin 5 x$.)
2.22. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=(24 \sin x+8 \cos x) e^{-2 x}$. (Хариу: $y=e^{2 x}\left(C_1 \cos x+C_2 \sin x\right)+e^{-2 x}(\cos x+\sin x)$.)
2.23. $y^{\prime \prime}+16 y=8 \cos 4 x$. (Хариу: $y=C_1 \cos 4 x+C_2 \sin 4 x+x \sin 4 x$.)
2.24. $y^{\prime \prime}+9 y=9 x^4+12 x^2-27$. (Хариу: $y=C_1 \cos 3 x+$ $+C_2 \sin 3 x+x^4-3$.)
2.25. $y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+40 y=2 e^{6 x}$. (Хариу: $y=e^{6 x}\left(C_1 \cos 2 x+\right.$ $\left.+C_2 \sin 2 x\right)+e^{6 x} / 2$.)
2.26. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=e^x(24 \cos 2 x+2 \sin 2 x)$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{-4 x}+2 e^x \sin 2 x$.)
2.27. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=6 e^{-x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x}+C_2 x e^{-x}+3 x^2 e^{-x}$.)
2.28. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+37 y=37 x^2-33 x+74$. (Хариу: $y=$ $=e^{-x}\left(C_1 \cos 6 x+C_2 \sin 6 x\right)+x^2-x+2$.)
2.29. $6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=3 e^{2 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{x / 2}+C_2 e^{-x / 3}+e^{2 x}$.)
2.30. $2 y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}+3 y=-222 \sin 3 x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-3 x}+C_2 e^{-x / 2}+7 \cos 3 x+5 \sin 3 x$.)
3.1. $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+17 y=10 e^{2 x}$. (Хариу: $y=e^{4 x}\left(C_1 \cos x+C_2 \sin x\right)+2 e^{2 x}$.)
3.2. $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=(6 x+1) e^{3 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-3 x}+C_2 e^{2 x}+(x-1) e^{3 x}$.)
3.3. $y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=3 e^{4 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{3 x}+C_2 e^{4 x}+3 x e^{4 x}$.)
3.4. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=6+12 x-24 x^2$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{2 x}+4 x^3+3 x^2$ .)
3.5. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+34 y=18 \cos 5 x+60 \sin 5 x$. (Хариу: $y=e^{3 x}\left(C_1 \cos 5 x+C_2 \sin 5 x\right)+2 \cos 5 x$.)
3.6. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=(4 x+4) e^{2 x}$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{2 x}+(x^2+x) e^{2 x}$.)
3.7. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 x^3+24 x^2+22 x-4$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x}+C_2 x e^{-x}+4 x^3-2 x$.)
3.8. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=8-16 x$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{4 x}+2 x^2-x$.)
3.9. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$. (Хариу: $y=C_1 e^x+C_2 x e^x+2 x^2 e^x$.)
3.10. $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+20 y=16(\sin 2 x-\cos 2 x)$. (Хариу: $y=e^{4 x}\left(C_1 \cos 2 x+C_2 \sin 2 x\right)+\sin 2 x$.)
3.11. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+13 y=34 e^{-3 x} \sin 2 x$. (Хариу: $y=e^{3 x}\left(C_1 \times\cos 2 x+C_2 \sin 2 x\right)+(3 / 13) e^{-3 x}(2 \cos 2 x+3 \sin 2 x)$.)
3.12. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\left(12 x^2+6 x-4\right) e^x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-3 x}+C_2 e^x+\left(x^3-x\right) e^x$.)
3.13. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=6 e^{-2 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-2 x}+C_2 x e^{-2 x}+3 x^2 e^{-2 x}$.)
3.14. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=10-6 x$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{-3 x}-x^2+4 x$.)
3.15. $y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+25 y=40+52 x-240 x^2-200 x^3$. (Хариу: $y=C_1 e^{-5 x}+C_2 x e^{-5 x}-8 x^3+4 x$.)
3.16. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+20 y=-4 \cos 4 x-52 \sin 4 x$. (Хариу: $y=e^{-2 x}\left(C_1 \cos 4 x+C_2 \sin 4 x\right)+3 \cos 4 x-\sin 4 x$.)
3.17. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=5 x^2-32 x+5$. (Хариу: $y=e^{-2 x}\left(C_1 \times\cos x+C_2 \sin x\right)+x^2-8 x+7$.)
3.18. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(12 x-10) e^{-x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x}+C_2 x e^{-x}+\left(2 x^3-5 x^2\right) e^{-x}$.)
3.19. $y^{\prime \prime}-4 y=(-24 x-10) e^{2 x}$. (Хариу: $y=C_1 \cos 2 x+$ $+C_2 \sin 2 x-\left(3 x^2+x\right) e^{2 x}$.)
3.20. $y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=72 e^{3 x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-3 x}+C_2 x e^{-3 x}+2 e^{3 x}$.)
3.21. $y^{\prime \prime}+16 y=80 e^{2 x}$. (Хариу: $y=C_1 \cos 4 x+C_2 \sin 4 x+4 e^{2 x}$.)
3.22. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=15 e^x$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^{-4 x}+3 e^x$.)
3.23. $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=9 \cos x-7 \sin x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-2 x}+C_2 e^x+3 \sin x-2 \cos x$.)
3.24. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(18 x+8) e^{-x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x}+C_2 x e^{-x}+\left(3 x^3+4 x^2\right) e^{-x}$.)
3.25. $y^{\prime \prime}-14 y^{\prime}+49 y=144 \sin 7 x$. (Хариу: $y=C_1 e^{7 x}+C_2 x e^{7 x}+2 \cos 7 x$.)
3.26. $y^{\prime \prime}+9 y=10 e^{3 x}$. (Хариу: $y=C_1 \cos 3 x+C_2 \sin 3 x+e^{3 x}$.)
3.27. $4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=-25 \cos x$. (Хариу: $y=C_1 e^{x / 2}+C_2 x e^{x / 2}+3 \cos x+4 \sin x$.)
3.28. $3 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-2 y=6 \cos 2 x+38 \sin 2 x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x / 3}+C_2 e^{2 x}+\cos 2 x-2 \sin 2 x$.)
3.29. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=26 e^{-x}$. (Хариу: $y=e^{-2 x}\left(C_1 \cos 5 x+\right.$ $\left.+C_2 \sin 5 x\right)+e^{-x}$.)
3.30. $4 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=11 \cos x-7 \sin x$. (Хариу: $y=C_1 e^{x / 4}+C_2 e^{-x}+2 \sin x-\cos x$.)
4. Дифф.тэгшитгэлийн, өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангах тухайн шийдийг ол.
4.1. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=-12 \cos 2 x-9 \sin 2 x, y(0)=-2, y^{\prime}(0)=0$. (Хариу: $y=-2 e^x-4 x e^x+3 \sin 2 x$.)
4.2. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=9 x^2-39 x+65, y(0)=-1, y^{\prime}(0)=1$. (Хариу: $y=-6 e^{3 x}+22 x e^{3 x}+x^2-3 x+5$.)
4.3. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=2 x^2+8 x+6, y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=4$. (Хариу: $y=e^{-x}(\cos x+3 \sin x)+x^2+2 x$.)
4.4. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+25 y=9 \sin 4 x-24 \cos 4 x, y(0)=2, y^{\prime}(0)=$ $=-2$. (Хариу: $y=e^{3 x}(2 \cos 4 x-3 \sin 4 x)+\sin 4 x$.
4.5. $y^{\prime \prime}-14 y^{\prime}+53 y=53 x^3-42 x^2+59 x-14, y(0)=0$, $y^{\prime}(0)=7$. (Хариу: $y=3 e^{7 x} \sin 2 x+x^3+x$.)
4.6. $y^{\prime \prime}+6 y=e^x(\cos 4 x-8 \sin 4 x), y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=5$. (Хариу: $y=\sin 4 x-\cos 4 x+e^x \cos 4 x$.)
4.7. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+20 y=16 x e^{2 x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$. (Хариу: $y=e^{2 x}(\cos 4 x-1 / 4 \sin 4 x)+x e^{2 x}$.)
4.8. $y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+36 y=32 \cos 2 x+24 \sin 2 x, y(0)=2, y^{\prime}(0)=$ =4. (Хариу: $y=e^{6 x}-2 x e^{6 x}+\cos 2 x$.)
4.9. $y^{\prime \prime}+y=x^3-4 x^2+7 x-10, y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=3$. (Хариу: $y=4 \cos x+2 \sin x+x^3-4 x^2+x-2$.)
4.10. $y^{\prime \prime}-y=(14-16 x) e^{-x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=-1$. (Хариу: $y=e^x-e^{-x}+\left(4 x^2-3 x\right) e^{-x}$.)
4.11. $y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=16 x^2-16 x+66, y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$. (Хариу: $y=-2 e^{-4 x}-6 x e^{-4 x}+x^2-2 x+5$.)
4.12. $y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+34 y=-9 e^{-5 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6$. (Хариу: $y=e^{-5 x}(\cos 3 x+2 \sin 3 x)-e^{-5 x}$.)
4.13. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+25 y=(32 x-12) \sin 3 x-36 x \cos 3 x, y(0)=4$, $y^{\prime}(0)=0$. (Хариу: $y=e^{3 x}(4 \cos 4 x-3 \sin 4 x)+2 x \sin 3 x$.)
4.14. $y^{\prime \prime}+25 y=e^x(\cos 5 x-10 \sin 5 x), y(0)=3, y^{\prime}(0)=-4$. (Хариу: $y=2 \cos 5 x-\sin 5 x+e^x \cos 5 x$.)
4.15. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=-8 e^{-x} \sin 2 x, y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=6$. (Хариу: $y=e^{-x}(2 \cos 2 x+3 \sin 2 x)+2 x e^{-x} \cos 2 x$.)
4.16. $y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+25 y=e^{5 x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$. (Хариу: $y=3 e^{5 x}-2 x e^{5 x}+x^2 e^{5 x}$.)
4.17. $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-12 y=(16 x+22) e^{4 x}, y(0)=3, y^{\prime}(0)=5$. (Хариу: $y=e^{3 x}+e^{-4 x}+(2 x+1) e^{4 x}$.)
4.18. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=5 x^2+6 x-12, y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2$. (Хариу: $y=e^x(2 \cos 2 x-\sin 2 x)+x^2+2 x-2$.)
4.19. $y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=16 x^3+24 x^2-10 x+8, y(0)=1$, $y^{\prime}(0)=3$. (Хариу: $y=4 x e^{-4 x}+x^3-x+1$.)
4.20. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+37 y=36 e^x \cos 6 x, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6$. (Хариу: $y=e^x \sin 6 x+3 x e^x \sin 6 x$.)
4.21. $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}=16+48 x^2-128 x^3, y(0)=-1, y^{\prime}(0)=14$. (Хариу: $y=2 e^{8 x}-3+4 x^4-2 x$.)
4.22. $y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+36 y=72 x^3-18, y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0$. (Хариу: $y=\cos 6 x+8 \sin 6 x+2 x^3-2 x$.)
4.23. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=(40 x+58) e^{2 x}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2$. (Хариу: $y=4 e^{-3 x}-7+(4 x+3) e^{2 x}$.)
4.24. $y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+18 y=26 \cos x-8 \sin x, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2$.(Хариу: $y=2 e^{6 x}-3 e^{3 x}-\sin x+\cos x$.)
4.25. $y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}=18 x+60 x^2-32 x^3, y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=2$.(Хариу: $y=3+2 e^{-8 x}-x^4+3 x^3$.)
4.26. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=-\sin x-7 \cos x, y(0)=2, y^{\prime}(0)=7$.(Хариу: $y=e^x+2 e^{2 x}-\cos x+2 \sin x$.)
4.27. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=6 x^2+2 x+1, y(0)=2, y^{\prime}(0)=2$. (Хариу: $y=3-e^{-2 x}+x^3-x^2$.)
4.28. $y^{\prime \prime}+16 y=32 e^{4 x}, y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0$. (Хариу: $y=\cos 4 x-\sin 4 x+e^{4 x}$.)
4.29. $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=52 \sin 2 x, y(0)=-2, \quad y^{\prime}(0)=-2$. (Хариу: $y=5 e^{-2 x}-2 e^{-3 x}-5 \cos 2 x+\sin 2 x$.)
4.30. $y^{\prime \prime}-4 y=8 e^{2 x}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=-8$. (Хариу: $y=3 e^{-2 x}-2 e^{2 x}+2 x e^{2 x}$.)
5. Нэгэн төрөл биш шугаман дифф. тэгшитгэлийн $y^*$ тухайн шийдийн хэлбэрийг $f(x)$-ээс хамааруулан тогтоо.
5.1. $2 y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+3 y=f(x)$; a) $f(x)=(2 x+1) e^{3 x}$; б) $f(x)=\cos 3 x$.
5.2. $3 y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+2 y=f(x)$; a) $f(x)=3 x e^{2 x}$; б) $f(x)=\sin 2 x-3 \cos 2 x$.
5.3. $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=f(x)$; a) $f(x)=\left(x^2-5\right) e^{-x}$; б) $f(x)=x \sin x$.
5.4. $2 y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+4 y=f(x)$; a) $f(x)=-2 e^{4 x}$; б) $f(x)=e^x \cos 4 x$.
5.5. $y^{\prime \prime}+49 y=f(x)$; a) $f(x)=x^3+4 x$; б) $f(x)=3 \sin 7 x$.
5.6. $3 y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+3 y=f(x)$; a) $f(x)=e^{-3 x}$; б) $f(x)=2 \cos 3 x-\sin 3 x$.
5.7. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=f(x)$; a) $f(x)=x+2 e^x$; б) $f(x)=3 \cos 4 x$.
5.8. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=f(x)$; a) $f(x)=\sin 2 x+2 e^x$; б) $f(x)=x^2-4$.
5.9. $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=f(x)$; a) $f(x)=e^x \cos x$; б) $f(x)=7 x+2$.
5.10. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=f(x)$; a) $f(x)=2 x^2-5 x$; б) $f(x)=e^{-x} \sin 2 x$.
5.11. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=f(x)$; a) $f(x)=3 x e^{-4 x}$; б) $f(x)=x \sin x$
5.12. $y^{\prime \prime}+36 y=f(x)$; a) $f(x)=4 x e^{-x}$; б) $f(x)=2 \sin 6 x$.
5.13. $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=f(x)$; a) $f(x)=(x-2) e^{3 x}$; б) $f(x)=4 \cos x$.
5.14. $4 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+y=f(x)$; a) $f(x)=(4 x+2) e^x$; б) $f(x)=e^x \sin 3 x$.
5.15. $4 y^{\prime \prime}+7 y^{\prime}-2 y=f(x)$; a) $f(x)=3 e^{-2 x}$; б) $f(x)=(x-1) \cos 2 x$.
5.16. $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=f(x)$; a) $f(x)=2 x e^{3 x}$; б) $f(x)=9 \cos x-\sin x$.
5.17. $y^{\prime \prime}-16 y=f(x)$; a) $f(x)=-3 e^{4 x}$; б) $f(x)=\cos x-4 \sin x$.
5.18. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=f(x)$; a) $f(x)=(x-2) e^{4 x}$; 6) $f(x)=3 \cos 4 x$.
5.19. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=f(x)$; a) $f(x)=(2 x-3) e^{4 x}$; б) $f(x)=e^x \sin x$.
5.20. $5 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+y=f(x)$; a) $f(x)=x^2 e^x$; б) $f(x)=\cos x-\sin x$.
5.21. $5 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}-2 y=f(x)$; a) $f(x)=x^3-2 x$; б) $f(x)=2 \sin 2 x-3 \cos 2 x$.
5.22. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-15 y=f(x)$; a) $f(x)=4 x e^{3 x}$ б) $f(x)=x \sin 5 x$.
5.23. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=f(x)$; a) $f(x)=2 x^3-4 x$; б) $f(x)=2 e^{3 x} \cos x$.
5.24. $y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=f(x)$; a) $f(x)=x e^{3 x}+2 e^x$ б) $f(x)=3 x \sin 2 x$.
5.25. $y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}=f(x)$; a) $f(x)=x^2+4 x-3$; б) $f(x)=x e^{2 x} \sin x$.
5.26. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=f(x)$; a) $f(x)=-2 x e^x$; б) $f(x)=x \cos 2 x-\sin 2 x$.
5.27. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(x);$ a) $f(x)=(3 x-7) e^{-x}$; б) $f(x)=\cos x-3 \sin x$.
5.28. $y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=f(x)$; a) $f(x)=2 x e^{4 x}$; б) $f(x)=\cos 4 x+2 \sin 4 x$.
5.29. $y^{\prime \prime}+ y^{\prime}-2 y=f(x)$; a) $f(x)=(2 x-1) e^{-x}$; б) $f(x)=3 x \cos 2 x$.
5.30. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=f(x)$; a) $f(x)=6 x e^{-x}$; б) $f(x)=x^2 \sin 2 x$.
Бодсон жишээ
Дифф.тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
1. a) $4 y^{\prime \prime}-11 y^{\prime}+6 y=0$; б) $4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0$; в) $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+$ $+37 y=0$.
- Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического уравнения (см. формулу (11.48) и пример 5 из § 11.6) записываем общее решение дифференциального уравнения:
a) $4 \lambda^2-11 \lambda+6=0$, корни $\lambda_1=3 / 4, \quad \lambda_2=2-$ действительные различные, поэтому общее решение уравнения $$y=C_1 e^{3 x / 4}+C_2 e^{2 x} ;$$
б) $4 \lambda^2-4 \lambda+1=0$, корни $\lambda_1=\lambda_2=1 / 2-$ действительные равные, следовательно, общее решение уравнения $$y=C_1 e^{x / 2}+C_2 x e^{x / 2}$$
в) $\lambda^2-2 \lambda+37=0$, корни $\lambda_{1,2}=1 \pm 6 i-$ комплексносопряженные, поэтому общее решение уравнения $$y=e^x\left(C_1 \cos 6 x+C_2 \sin 6 x\right) .$$
2. $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=6 x e^{-x}$.
- Характеристическое уравнение $\lambda^2-3 \lambda-4=0$ имеет корни $\lambda_1=4, \lambda_2=-1$. Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой $$\tilde{y}=C_1 e^{4 x}+C_2 e^{-x} .$$ По функции $f(x)=6 x e^{-x}$, стоящей в правой части исходного уравнения, записываем структуру его частного решения (см. формулу (11.50)): $$y^*=(A x+B) e^{-x} x=\left(A x^2+B x\right) e^{-x} .$$ Выражение $(A x+B) e^{-x}$ домножили на $x$, так как $z=a+i b=$ $=-1$ является корнем характеристического уравнения. Коэффициенты $A$ и $B$ определяем методом неопределенных коэффициентов. Для этого находим: $$\begin{aligned} & y^{* \prime}=(2 A x+B) e^{-x}-\left(A x^2+B x\right) e^{-x}, \\ & y^{* \prime \prime}=2 A e^{-x}+\left(A x^2+B x\right) e^{-x}-2(2 A x+b) e^{-x} .\end{aligned}$$ Подставим найденные выражения для $y^{* \prime}$ и $y^{* \prime \prime}$ в исходное уравнение и, разделив обе его части на $e^{-x}$, приравняем коэффициенты при $x^2, x$ и $x^0$. Получим систему, из которой найдем $A$ и $B$. Таким образом, в соответствии с изложенным имеем: $$\begin{aligned}& 2 A+A x^2+B x-4 A x-2 B-6 A x-3 B+3 A x^2+3 B x-4 A x^2-4 B x=6 x, \\ & \left.\begin{array}{l|l} x^2 & A+3 A-4 A=0, \\ x & B-4 A-6 A+3 B-4 B=6, \\ x^0 & 2 A-2 B-3 B=0,\end{array}\right\} \\ & \end{aligned}$$ откуда $A=-3 / 5, B=-6 / 25$. Тогда $$y^*=-\left(\frac{3}{5} x^2+\frac{6}{25} x\right) e^{-x} $$ и общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой $$ y=\tilde{y}+y^*=C_1 e^{4 x}+C_2 e^{-x}-\left(\frac{3}{5} x^2+\frac{6}{25} x\right) e^{-x} .$$
3. $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=5 x+\cos 2 x$.
Находим корни характеристического уравнения $\lambda^2+\lambda=$ $=0: \lambda_1=0, \lambda_2=-1$. Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид $$\tilde{y}=C_1+C_2 e^{-x} .$$ Функция $f(x)=5 x+\cos 2 x$, стоящая в правой части уравнения, представляет собой сумму функций $f_1(x)=5 x$ и $f_2(x)=$ $=\cos 2 x$. Им соответствуют два частных решения: $$\begin{aligned} & y_1^*=A x^2+B x, \\ & y_2^*=A_1 \cos 2 x+B_1 \sin 2 x, \end{aligned} $$ т. е. $y^*=y_1^*+y_2^*$. Находим: $$ \begin{aligned} & y^{* \prime}=2 A x+b-2 A_1 \sin 2 x+2 B_1 \cos 2 x, \\ & y^{* \prime \prime}=2 A-4 A_1 \cos 2 x-4 B_1 \sin 2 x .\end{aligned}$$ Подставляем выражения для $y^{* \prime}$ и $y^{* \prime \prime}$ в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты $A, B, A_1, B_1$ : $2 A-4 A_1 \cos 2 x-4 B_1 \sin 2 x+2 A x+B-2 A_1 \sin 2 x+2 B_1 \cos 2 x=5 x+\cos 2 x$, $$\left.\begin{array}{l|l} x & 2 A=5, \\ x^0 & 2A+B=0, \\ \cos 2 x & -4 A_1+2 B_1=1, \\ \sin 2 x & -2 A_1-4 B_1=0, \end{array}\right\}$$ откуда $A=5 / 2, B=-5, A_1=-1 / 5, B_1=1 / 10$. Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид $$y^*=\frac{5}{2} x^2-5 x-\frac{1}{5} \cos 2 x+\frac{1}{10} \sin 2 x,$$ а его общее решение - $$y=\tilde{y}+y^*=C_1+C_2 e^{-x}+\frac{5}{2} x^2-5 x-\frac{1}{5} \cos 2 x+\frac{1}{10} \sin 2 x .$$
4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: $y^{\prime \prime}+16 y=$ $=(34 x+13) e^{-x}, y(0)=-1, y^{\prime}(0)=5$.
- Характеристическое уравнение $\lambda^2+16=0$ имеет мнимые корни: $\lambda_{1,2}= \pm 4 i$. Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется формулой $$\tilde{y}=C_1 \cos 4 x+C_2 \sin 4 x,$$ а частное его решение имеет вид $$y^*=(A x+B) e^{-x} .$$ Находим: $$ y^{* \prime}=A e^{-x}-(A x+B) e^{-x}, \quad y^{* \prime \prime}=-2 A e^{-x}+(A x+B) e^{-x} .$$ Подставим выражения $y^{* \prime}$ и $y^{* \prime \prime}$ в исходное уравнение и из полученного тождества $$-2 A+A x+B+16 A x+16 B \equiv 34 x+13$$ найдем $A=2, B=1$. Тогда $$y^*=(2 x+1) e^{-x}$$ и общее решение исходного уравнения имеет вид $$y=C_1 \cos 4 x+C_2 \sin 4 x+(2 x+1) e^{-x} .$$ Используя начальные условия $y(0)=-1, y^{\prime}(0)=5$, составляем систему для вычисления значений $C_1$ и $C_2$ : $$ \left.\begin{array}{l}y(0)=-1=C_1+1, \\ y^{\prime}(0)=5=4 C_2+2-1,\end{array}\right\}$$ решение которой: $C_1=-2, C_2=1$. Подставив значения $C_1$ и $\mathrm{C}_2$ в общее решение, найдем частное решение исходного уравнения: $$y=\sin 4 x-2 \cos 4 x+(2 x+1) e^{-x} .$$
5. Определить и записать структуру частного решения $y^*$ линейного неоднородного дифференциального уравнения $y^{\prime \prime}$ $-9 y=f(x)$ по виду функции $f(x)$, если: а) $f(x)=(5-x) e^{3 x}$; б) $f(x)=x \sin 2 x$.
- Находим корни характеристического уравнения:$$\lambda^2-9=0, \quad \lambda_1=-3, \lambda_2=3 .$$ а) Так как $f(x)=(5-x) e^{3 x}$, то частное решение имеет вид $$y^*=(A x+B) e^{3 x} x=\left(A x^2+B x\right) e^{3 x}$$ Здесь множитель $x$ появляется потому, что $z=a+i b=3$ и $k=1$;
б) Поскольку $f(x)=x \sin 2 x$, то $$y^*=\left(A_1 x+B_1\right) \cos 2 x+\left(A_2 x+B_2\right) \sin 2 x .$$
