1. Нэгэн төрлийн шугаман диференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг ол.
1.1. $y^{\prime \prime \prime}-7 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=30$. (Хариу: $y=5-6 e^x+e^{6 x}$.)
1.2. $y^{\mathrm{V}}-9 y^{\prime \prime \prime}=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1, y^{\prime \prime}(0)=0$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=0, y^{\text {IV }}(0)=0$. (Хариу: $y=1-x$.)
1.3. $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=-1$. (Хариу: $y=1+x-e^x$.)
1.4. $y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2, y^{\prime \prime}(0)=4$. (Хариу: $y=e^{2 x}-1$.)
1.5. $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=1$. (Хариу: $y=1-\cos x-\sin x$.)
1.6. $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2, y^{\prime \prime}(0)=4$. (Хариу: $y=-4+e^{-x}+3 e^x$.)
1.7. $y^{\mathrm{IV}}+2 y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime}-y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=8$. (Хариу: $y=2 e^{-x}-4 x e^{-x}-4 x^2 e^{-x}-2 e^x$.)
1.8. $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+3 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=-14$. (Хариу: $y=e^x-3 x e^x-e^{-3 x}$.)
1.9. $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=-1$. (Хариу: $y=1-e^{-x}$.)
1.10. $y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-4 y=0, y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1$, $y^{\prime \prime}(0)=0$. (Хариу: $y=e^x / 2+e^{2 x} / 2-5 x e^{2 x} / 8$.)
1.11. $y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=2$. (Omaem: $y=1-2 e^{-x}+e^{-2 x}$.)
1.12. $y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=0, y(0)=-1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1$. (Хариу: $y=-e^{-x}(1+x)$.)
1.13. $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}-18 y=0, y(0)=-2,5, y^{\prime}(0)=0$, $y^{\prime \prime}(0)=0$. (Хариу: $y=-\frac{45}{26} e^{2 x}-\frac{10}{13} \cos 2 x+\frac{15}{13} \sin 2 x$.)
1.14. $y^{\prime \prime \prime}+9 y^{\prime}=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=9, \quad y^{\prime \prime}(0)=-18$. (Хариу: $y=-2+2 \cos 3 x+3 \sin 3 x$.)
1.15. $y^{\prime \prime \prime}-13 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=133$. (Хариу: $y=10-11 e^x+e^{12 x}$.)
1.16. $y^{\mathrm{IV}}-5 y^{\prime \prime}+4 y=0, y(0)=-2, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=2$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=0$. (Хариу: $y=-e^x-7 e^{-x} / 3+7 e^{2 x} / 12+3 e^{-2 x} / 4$.)
1.17. $y^{\mathrm{IV}}-10 y^{\prime \prime}+9 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=8$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=24$. (Хариу: $y=-2 e^x+e^{-x}+e^{3 x}$.)
1.18. $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0$. (Хариу: $y=\sin x$.)
1.19. $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=4$. (Хариу: $y=2 x^2 e^x$.)
1.20. $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0, y(0)=-1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=-6$. (Хариу: $y=-2 e^x+\cos 2 x+\sin 2 x$.)
1.21. $y^{\mathrm{IV}}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=2$. (Хариу: $y=1-e^x+x e^x$.)
1.22. $y^{\mathrm{IV}}-y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=-4$. (Хариу: $y=e^{-x}-e^x+2 \sin x$.)
1.23. $y^{\mathrm{IV}}-16 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=-8$. (Хариу: $y=e^{2 x} / 4-e^{-2 x} / 4+0,5 \sin 2 x$.)
1.24. $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=12$. (Хариу: $y=e^{2 x}+3 e^{-2 x}-4 e^{-x}$.)
1.25. $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}+18 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-3$, $y^{\prime \prime}(0)=-9$. (Хариу: $y=\cos 3 x-\sin 3 x$.)
1.26. $y^{\mathrm{V}}-6 y^{\mathrm{IV}}+9 y^{\prime \prime \prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=0, y^{\mathrm{IV}}(0)=27$. (Хариу: $y=1+2 x+3 x^2 / 2-e^{3 x}+x e^{3 x}$.)
1.27. $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2, \quad y^{\prime \prime}(0)=-3$. (Хариу: $y=1-e^{-x}+x e^{-x}$.)
1.28. $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0, y(0)=-1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1$. (Хариу: $y=-4 e^x+7 x e^x+3 e^{-x}$.)
1.29. $y^{\mathrm{IV}}+5 y^{\prime \prime}+4 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=4, y^{\prime \prime}(0)=-1$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=-16$. (Хариу: $y=2 \sin 2 x+\cos x$.)
1.30. $y^{\mathrm{IV}}+10 y^{\prime \prime}+9 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=3, y^{\prime \prime}(0)=-9$, $y^{\prime \prime \prime}(0)=-27$. (Хариу: $y=\cos 3 x+\sin 3 x$.)
2. Дифференциал тэгшитгэлийн системийг а) дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлд шилжүүлж; б) характеристик тэгшитгэлийн тусламжтайгаар, хоёр аргаар тус тус бод:
2.1. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x+y, \\ y^{\prime}=3 x+4 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{5 t}+C_2 e^t, \\ y=3 C_1 e^{5 t}-C_2 e^t .\end{array}\right)$
2.2. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x-y, \\ y^{\prime}=-4 x+y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{3 t}+C_2 e^t, \\ y=-2 C_1 e^{3 t}+2 C_2 e^{-t} .\end{array}\right)$
2.3. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-x+8 y, \\ y^{\prime}=x+y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{3 t}+C_2 e^{-3 t}, \\ y=C_1 e^{3 t} / 2-C_2 e^{-3 t} / 4 .\end{array}\right)$
2.4. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-2 x-3 y, \\ y^{\prime}=-x .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-3 t}+C_2 e^t, \\ y=C_1 e^{-3 t} / 3-C_2 e^t .\end{array}\right)$
2.5. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x-y, \\ y^{\prime}=-4 x+4 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1+C_2 e^{5 t}, \\ y=C_1-4 C_2 e^{5 t} .\end{array}\right)$
2.6. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-2 x+y, \\ y^{\prime}=-3 x+2 y .\end{array}\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^t+C_2 e^{-t}, \\ y=3 C_1 e^t+C_2 e^{-t} .\end{array}\right)$
2.7. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=6 x-y, \\ y^{\prime}=3 x+2 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{3 t}+C_2 e^{5 t}, \\ y=3 C_1 e^{3 t}+C_2 e^{5 t} .\end{array}\right)$
2.8. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x+y, \\ y^{\prime}=-6 x-3 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1+C_2 e^{-t}, \\ y=-2 C_1-3 C_2 e^{-t} .\end{array}\right)$
2.9. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=y, \\ y^{\prime}=x .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^t+C_2 e^{-t}, \\ y=C_1 e^t-C_2 e^{-t} .\end{array}\right)$
2.10. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-x-2 y, \\ y^{\prime}=3 x+4 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^t+C_2 e^{2 t}, \\ y=-C_1 e^t-3 C_2 e^{2 t} / 2 .\end{array}\right)$
2.11. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-2 x, \\ y^{\prime}=y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1+C_2 e^{-2 t}, \\ y=C_1 e^t+C_2 .\end{array}\right)$
2.12. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=4 x+2 y, \\ y^{\prime}=4 x+6 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{2 t}+C_2 e^{8 t}, \\ y=-C_1 e^{2 t}+2 C_2 e^{8 t} .\end{array}\right)$
2.13. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=8 x-3 y, \\ y^{\prime}=2 x+y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{2 t}+C_2 e^{7 t}, \\ y=2 C_1 e^{2 t}+C_2 e^{7 t} / 3 .\end{array}\right)$
2.14. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=3 x+y, \\ y^{\prime}=x+3 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{2 t}+C_2 e^{4 t}, \\ y=-C_1 e^{2 t}+C_2 e^{4 t} .\end{array}\right)$
2.15. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x+3 y, \\ y^{\prime}=5 x+4 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-t}+C_2 e^{7 t}, \\ y=-C_1 e^{-t}+5 C_2 e^{7 t} / 3 .\end{array}\right)$
2.16. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+2 y, \\ y^{\prime}=3 x+6 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1+C_2 e^{7 t}, \\ y=-C_1 / 2+3 C_2 e^{7 t} .\end{array}\right)$
2.17. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=5 x+4 y, \\ y^{\prime}=4 x+5 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^t+C_2 e^{9 t}, \\ y=-C_1 e^t+C_2 e^{9 t} .\end{array}\right)$
2.18. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+2 y, \\ y^{\prime}=4 x+3 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-t}+C_2 e^{5 t}, \\ y=-C_1 e^{-t}+2 C_2 e^{5 t} .\end{array}\right)$
2.19. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+4 y, \\ y^{\prime}=x+y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-t}+C_2 e^{3 t}, \\ y=-C_1 e^{-t} / 2+C_2 e^{3 t} / 2 .\end{array}\right)$
2.20. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=3 x-2 y, \\ y^{\prime}=2 x+8 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{4 t}+C_2 e^{7 t} \\ y=-C_1 e^{4 t} / 2-2 C_2 e^{7 t}\end{array}\right)$
2.21. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+4 y, \\ y^{\prime}=2 x+3 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-t}+C_2 e^{5 t}, \\ y=-C_1 e^{-t} / 2+C_2 e^{5 t} .\end{array}\right)$
2.22. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=7 x+3 y, \\ y^{\prime}=x+5 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{4 t}+C_2 e^{8 t}, \\ y=-C_1 e^{4 t}+C_2 e^{8 t} / 3 .\end{array}\right)$
2.23. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=4 x-y, \\ y^{\prime}=-x+4 y .\end{array}\right.$ (Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{3 t}+C_2 e^{5 t}, \\ y=C_1 e^{3 t}-C_2 e^{5 t} .\end{array}\right)$
2.24. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=2 x+8 y, \\ y^{\prime}=x+4 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1+C_2 e^{6 t}, \\ y=-C_1 / 4+C_2 e^{6 t} / 2 .\end{array}\right)$
2.25. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=5 x+8 y, \\ y^{\prime}=3 x+3 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-t}+C_2 e^{9 t}, \\ y=-3 C_1 e^{-t} / 4+C_2 e^{9 t} / 2 .\end{array}\right)$
2.26. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=3 x+y, \\ y^{\prime}=8 x+y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-t}+C_2 e^{5 t}, \\ y=-4 C_1 e^{-t}+2 C_2 e^{5 t} .\end{array}\right)$
2.27. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x-5 y, \\ y^{\prime}=-x-3 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-4 t}+C_2 e^{2 t}, \\ y=C_1 e^{-4 t}-C_2 e^{2 t} / 5\end{array}\right)$
2.28. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-5 x+2 y, \\ y^{\prime}=x-6 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-4 t}+C_2 e^{-7 t}, \\ y=C_1 e^{-4 t} / 2-C_2 e^{-7 t}\end{array}\right)$
2.29. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=6 x+3 y, \\ y^{\prime}=-8 x-5 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-2 t}+C_2 e^{3 t}, \\ y=-8 C_1 e^{-2 t} / 3-C_2 e^{3 t} .\end{array}\right)$
2.30. $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=4 x-8 y, \\ y^{\prime}=-8 x+4 y .\end{array}\left(\right.\right.$ Хариу: $\left\{\begin{array}{l}x=C_1 e^{-4 t}+C_2 e^{12 t}, \\ y=C_1 e^{-4 t}-C_2 e^{12 t} .\end{array}\right)$
3. Тогтмолыг хувьсгах (вариацлах) аргаар бод:
3.1. $y^{\prime \prime}-y=\frac{e^x}{e^x+1}$. (Хариу: $y=\left(-\frac{e^x}{2}+\frac{1}{2} \ln \left(e^x+1\right)+C_1\right) e^{-x}+\left(\frac{1}{2} \ln \frac{e^x}{e^x+1}+C_2\right) e^x$.
3.2. $y^{\prime \prime}+4 y=\frac{1}{\cos 2 x}$. Хариу: $y=\left(\frac{1}{4} \ln |\cos 2 x|+C_1\right) \times\cos 2 x+\left(\frac{1}{2} x+C_2\right) \sin 2 x$.
3.3. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=\frac{e^{2 x}}{\cos x}$. (Хариу: $y=\left(\ln |\cos x|+C_1\right) \times e^{2 x} \cos x+\left(x+C_2\right) e^{2 x} \sin x.$)
3.4. $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\frac{\sin x}{\cos ^2 x}$. (Хариу: $y=\frac{1}{\cos x}+C_1+(\ln |\cos x|+C_2) \cos x+\left(x-\operatorname{tg} x+C_3\right) \sin x$.)
3.5. $y^{\prime \prime}+9 y=\frac{1}{\sin 3 x}$. (Хариу: $y=\left(-\frac{1}{3} x+C_1\right) \cos 3 x+\left(\frac{1}{9} \ln |\sin 3 x|+C_2\right) \sin 3 x.$)
3.6. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x e^x+\frac{1}{x e^x}$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x}+C_2 x e^{-x}+x e^x / 4-e^x / 4-x e^{-x}+x e^{-x} \ln x$.)
3.7. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\frac{e^{-x}}{\cos x} . \quad$ (Хариу: $y=(\ln |\cos x|+C_1) e^{-x} \cos x+(x+C_2) e^{-x} \sin x$.)
3.8. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\frac{e^x}{\sin ^2 x}$. (Хариу: $y=\left(\ln \left(\operatorname{ctg} \frac{x}{2}\right)+C_1\right) e^x \cos x+\left(\frac{1}{\sin x}+C_2\right) e^x \sin x$.
3.9. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{-x} \operatorname{ctg} x$. (Хариу: $y=C_1 e^{-x} \cos x+C_2 e^{-x} \sin x+e^{-x} \sin x \cdot \ln |\operatorname{tg}(x / 2)|$.)
3.10. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^x / \sin x$. (Хариу: $y=\left(-x+C_1\right) e^x \times \cos x+\left(\ln |\sin x|+C_2\right) e^z \sin x$.
3.11. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^x / x^2$. (Хариу: $y=\left(-\ln x+C_1\right) e^x+\left(-1 / x+C_2\right) x e^x$.)
3.12. $y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg} x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x-\cos x \times \ln |\operatorname{tg}(x / 2+\pi / 4)|$.)
3.13. $y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{ctg} 2 x$. (Хариу: $y=C_1 \cos 2 x+C_2 \sin 2 x+(1 / 4) \sin 2 x \cdot \ln |\operatorname{tg} x|$.)
3.14. $y^{\prime \prime}+y=\operatorname{ctg} x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+\sin x \times \ln |\operatorname{tg}(x / 2)|$.)
3.15. $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^x / x$. (Хариу: $y=\left(-x+C_1\right) e^x+\left(\ln x+C_2\right) x e^x$. $)$
3.16. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-x} / x$. (Хариу: $y=\left(-x+C_1\right) e^{-x}+\left(\ln x+C_2\right) x e^{-x} \mid$.)
3.17. $y^{\prime \prime}+y=1 / \cos x$. (Хариу: $y=\left(\ln |\cos x|+C_1\right) \cos x+\left(x+C_2\right) \sin x$. $)$
3.18. $y^{\prime \prime}+y=1 / \sin x$. (Хариу: $y=\left(-x+C_1\right) \cos x+$ $+\left(\ln |\sin x|+C_2\right) \sin x$.)
3.19. $y^{\prime \prime}+4 y=\frac{1}{\sin 2 x}$. (Хариу: $y=\left(-\frac{x}{2}+C_1\right) \cos 2 x+\left(\frac{1}{4} \ln |\sin 2 x|+C_2\right) \sin 2 x$.
3.20. $y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{tg} 2 x$. (Хариу: $y=C_1 \cos 2 x+C_2 \sin 2 x-\frac{1}{4} \ln \left|\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right| \cos 2 x$.
3.21. $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{-2 z} / x^3$. (Хариу: $y=(C_1+C_2 x+1 /(2 x)) e^{-2 x}$.)
3.22. $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=e^{2 x} / x^3$. (Хариу: $y=C_1 e^{2 x}+C_2 x e^{2 x}+e^{2 x} / 2 x$.)
3.23. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=3 e^{-x} \sqrt{x+1}$. (Хариу: $y=(-(6 / 5) \times \sqrt{(x+1)^5}+2 \sqrt{(x+1)^3}+C_1) e^{-x}+\left(2 \sqrt{(x+1)^3}+C_2\right) x e^{-x}.$)
3.24. $y^{\prime \prime}+y=-\operatorname{ctg}^2 x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+\cos x \ln |\operatorname{tg}(x / 2)|+2$.)
3.25. $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{2 x} \cos \left(e^x\right)$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^x-\cos \left(e^x\right)$.)
3.26. $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{2 x} \sin \left(e^x\right)$. (Хариу: $y=C_1+C_2 e^x-\sin \left(e^x\right)$.)
3.27. $y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg}^2 x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+\sin x \ln |\operatorname{tg}(x / 2+\pi / 4)|-2$.)
3.28. $y^{\prime \prime}+y=2 / \sin ^2 x$. (Хариу: $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+2 \cos x \ln |\operatorname{ctg}(x / 2)|-2$.)
3.29. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\frac{e^{-x}}{\sin 2 x}$. (Хариу: $y=\left(-\frac{x}{2}+C_1\right) \times e^{-x} \cos 2 x+\left(\frac{1}{4} \ln |\sin 2 x|+C_2\right) e^{-x} \sin 2 x$.
3.30. $y^{\prime \prime}+9 y=\frac{1}{\cos 3 x}$. (Хариу: $y=\left(\frac{1}{9} \ln |\cos 3 x|+C_1\right) \cos 3 x+\left(\frac{x}{3}+C_2\right) \sin 3 x$).
4. Тэгшитгэл зохиож бод.
4.1. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: площадь треугольника, образованного касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная $b^2$. (Хариу: $y=2 b^2 /(C \pm x)$ )
4.2. Записать уравнение кривой, если известно, что точка пересечения любой касательной к кривой с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. (Хариу: $y=C\left(x^2+y^2\right)$.)
4.3. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной к кривой и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, есть величина постоянная, равная $3 a^2$. (Хариу: $y=C x^2+2 a^2 / x$.)
4.4. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная $a^2$. (Хариу: $x=a^2 / y+C y$.)
4.5. Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания. (Хариу: $C x=x^2+y^2$.)
4.6. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. (Хариу: $y=C x^2$.)
4.7. Записать уравнения кривых, для которых сумма катетов треугольника, образованного касательной, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная $a$. (Хариу: $\pm x=$ $=C+a \ln y-y \quad(0<y<a)$.)
4.8. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную $2 / 3$ абсциссы точки касания. (Хариу: $y=C x^3$.)
4.9. Записать уравнения кривых, обладающих следуюшим свойством: длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равна $2 l$. (Хариу: $x=C+l \ln \left(l \pm \sqrt{l^2-y^2}\right) \mp \sqrt{l^2-y^2}$.
4.10. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(2,4)$ и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания. (Хариу: $y=2 \sqrt{3} x / \sqrt{x^2-1}$.)
4.11. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(1,5)$ и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания. (Хариу: $y=3 x \ln x+5 x$.)
4.12. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(1,2)$ и обладающей следуюшим свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3. (Хариу: $y^3=8 x$.)
4.13. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(2,-1)$, если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 6. (Хариу: $y=e^{6 x-12}$.)
4.14. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(1,2)$, если известно, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке и суммы координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. (Хариу: $y=2(y-x)^2$.)
4.15. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(0,-2)$, если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен утроенной ординате этой точки. (Хариу: $y=-2 e^{3 x}$.)
4.16. Записать уравнение кривой, обладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную, равна абсциссе точки касания. (Хариу: $y^2=C x-x^2$.)
4.17. Записать уравнение кривой, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо ее точке в $n$ раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту точку с началом координат. (Хариу: $y=C x^n$.)
4.18. Записать уравнение кривой, обладающей следующим свойством: отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. (Хариу: $x y=C$.)
4.19. Записать уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-либо точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат. (Хариу: $y=\left(C x^2-1 / C\right) / 2$.)
4.20. Записать уравнение кривой, для которой произведение абсциссы какой-либо ее точки и длины отрезка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси $O y$, равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат. (Хариу: $x^2+y^2=C x^4$.)
4.21. Записать уравнение кривой, для которой треугольник, образованный осью $O y$, касательной и радиусом-вектором точки касания, является равнобедренным. (Хариу: $x^2+$ $+y^2=C y, y^2=C^2-2 C x, x y=C$.)
4.22. Записать уравнение кривой, проходящей через точку $A(2,0)$ и обладающей следующим свойством: отрезок касательной между точкой касания и осью $O y$ имеет постоянную длину, равную 2. (Хариу: $\pm y=\sqrt{4-x^2}+\ln \frac{2-\sqrt{4-x^2}}{2+\sqrt{x-x^2}}$. $)$
4.23. Записать уравнение кривой, все касательные к которой проходят через начало координат. (Хариу: $y=C x$.)
4.24. Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую $y=1$ в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. (Хариу: $y=C / x+1$.)
4.25. Записать уравнение кривой, обладающей следующим свойством: если через любую ее точку провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой на две части, причем площадь одной из них вдвое больше площади другой. (Хариу: $y=C x^2$.)
4.26. Записать уравнение кривой, если касательная к ней отсекает на оси $O y$ отрезок, равный по длине $\frac{1}{n}$-й сумме координат точки касания. (Хариу: $y=C x^{(n-1) / n}-x$.)
4.27. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого нормалью в точке $M(x, y)$ на оси $O x$, равна $y^2 / x$. (Хариу: $y=x \sqrt{2 \ln (C / x)}$.)
4.28. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого касательной на оси $O y$, равна квадрату абсциссы точки касания. (Хариу: $y=C x-x^2$.)
4.29. Записать уравнения кривых, для которых длина отрезка, отсекаемого нормалью в точке $M(x, y)$ на оси $O y$, равна $x^2 / y$. (Хариу: $C=x^2 /\left(2 y^2\right)+\ln y$.)
4.30. В точке с ординатой 2 кривая наклонена к оси $O y$ под углом $45^{\circ}$. Любая ее касательная отсекает на оси абсцисс отрезок, равный по длине квадрату ординаты точки касания. Записать уравнение данной кривой. (Хариу: $x=(5-y) y$.)
Бодсон жишээ.
1. Шугаман нэгэн төрлийн диференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг ол.
$$y^{\mathrm{IV}}-y=0, \quad y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=3, \quad y^{\prime \prime}(0)=y^{\prime \prime \prime}(0)=0 .$$
Бодолт. Характеристик тэгшитгэлийг үүсгээд бодвол: $$\lambda^4-1=0, \quad\left(\lambda^2-1\right)\left(\lambda^2+1\right)=0, \quad \lambda_1=-1, \quad \lambda_2=1, \quad \lambda_{3,4}= \pm i .$$
Тэгшитгэлийн ерөнхий шийд: $$y=C_1 e^{-x}+C_2 e^x+C_3 \cos x+C_4 \sin x .$$
Уламжлалуудыг тооцоолбол: $$\begin{aligned} & y^{\prime}=-C_1 e^{-x}+C_2 e^x-C_3 \sin x+C_4 \cos x, \\ & y^{\prime \prime}=C_1 e^{-x}+C_2 e^x-C_3 \cos x-C_4 \sin x, \\ & y^{\prime \prime \prime}=-C_1 e^{-x}+C_2 e^x+C_3 \sin x-C_4 \cos x .\end{aligned}$$
Анхны нөхцлийг ашиглан $C_1, C_2, C_3, C_4$ утгуудыг олох сситемийг бичээд бодвол: $$\left.\left.\begin{array}{r}C_1+C_2+C_3=5, \\ -C_1+C_2+C_4=3, \\ C_1+C_2-C_3=0, \\ -C_1+C_2-C_4=0,\end{array}\right\} \quad \begin{array}{r}2 C_1+2 C_2=5, \\ -2 C_1+2 C_2=3,\end{array}\right\}$$ эндээс $C_1=1 / 2, C_2=2, C_3=5 / 2, C_4=3 / 2$.
Хайж буй тухайн шийд $$y=\frac{1}{2} e^{-x}+2 e^x+\frac{5}{2} \cos x+\frac{3}{2} \sin x .$$
2. Дифференциал тэгшитгэлийн системийг а) дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлд шилжүүлж; б) характеристик тэгшитгэлийн тусламжтайгаар, хоёр аргаар тус тус бод: $$\left.\begin{array}{lll} x^{\prime}=-7 x+y, & x=x(t), & x^{\prime}=d x / d t \\ y^{\prime}=-2 x-5 y, & y=y(t), & y^{\prime}=d y / d t \end{array}\right\}$$
Бодолт: а) Эхний тэгшитгэлийн дифференциалчилбал: $x^{\prime \prime}=-7 x^{\prime}+y^{\prime}$. Дараа нь, сүүлийн тэгшитгэлийн $y^{\prime}$-г системийн хоёрдугаар тэгшитгэлээс тавибал: $x^{\prime \prime}=-7 x^{\prime}-2 x-5 y$. Энэ тэгшитгэлийн $y$-г $y=x^{\prime}+7 x$ илэрхийлэлээр солибол $x(t)$ үл мэдэгдэгч функц бүхий хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл үүснэ: $$x^{\prime \prime}=-7 x^{\prime}-2 x-5\left(x^{\prime}+7 x\right), \quad x^{\prime \prime}+12 x^{\prime}+37 x=0 .$$
Сүүлийн тэгшитгэлийг бодвол: $$\begin{gathered} \lambda^2+12 \lambda+37=0, \quad \lambda_{1,2}=-6 \pm \sqrt{36-37}=-6 \pm i, \\ x=e^{-6 t}\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t\right) . \end{gathered}$$
Эндээс $$x^{\prime}=-6 e^{-6 t}\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t\right)+e^{-6 t}\left(-C_1 \sin t+C_2 \cos t\right) .$$
$x$ ба $x^{\prime}$ -ийн олсон илэрхийлэлүүдээ $y=x^{\prime}+7 x$ -д орлуулбал: $$\begin{gathered} y=-6 e^{-6 t}\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t\right)+e^{-6 t}\left(-C_1 \sin t+C_2 \cos t\right)+ \\ +7 e^{-6 t}\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t\right) . \end{gathered}$$
Ингэж хайж буй функцууд олдоно: $$ \begin{aligned} & x=e^{-6 t}\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t\right), \\ & y=e^{-6 t}\left(C_1(\cos t-\sin t)+C_2(\cos t+\sin t)\right) ; \end{aligned}$$
б) Характеристик тэгшитгэлийг бичээд бодвол : $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc} -7-\lambda & 1 \\ -2 & -5-\lambda \end{array}\right|=0, \quad(7+\lambda)(5+\lambda)+2=0, \\ \lambda^2+12 \lambda+37=0, \quad \lambda_{1,2}=-6 \pm i .\end{gathered}$$
$\lambda_1=-6+i$ үед дараахь систем үүснэ: $$\begin{aligned} & \left.\begin{array}{rl} (-7+6-i) \alpha+\quad & =0, \\ -2 \alpha+(-5+6-i) \beta & =0, \end{array}\right\} \\ & \left.\begin{array}{rl} -(1+i) \alpha+\beta & =0, \\ -2 \alpha+(1-i) \beta & =0 .\end{array}\right\} \\ & \end{aligned}$$
$\alpha=1, \beta=1+i$ гээд эхний тухайн шийдийг олбол: $$x_1=e^{(-6+i) t}, \quad y_1=(1+i) e^{(-6+i) t} .$$
$\lambda_2=-6-i$ үед дараахь систем үүснэ: $$\begin{aligned} & \left.\begin{array}{rl} (-7+6+i) \alpha+\quad & =0, \\ -2 \alpha+(-5+6+i) \beta & =0, \end{array}\right\} \\ & \left.\begin{array}{rl} (-1+i) \alpha+\beta & =0, \\ -2 \alpha+(1+i) \beta & =0 . \end{array}\right\} \\ & \end{aligned} $$
$\alpha=1, \beta=1-i$ гээд дараагийн тухайн шийдийг олбол: $$ x_2=e^{(-6-i) t}, \quad y_2=(1-i) e^{(-6-i) t} .$$
Системийн фундаменталь шийдийн шинэ суурьт шилжье: $$\begin{array}{ll} \bar{x}_1=\left(x_1+x_2\right) / 2, & \bar{x}_2=\left(x_1-x_2\right) /(2 i), \\ \bar{y}_1=\left(y_1+y_2\right) / 2, & \bar{y}_2=\left(y_1-y_2\right) /(2 i) . \end{array}$$
$ e^{(\alpha \pm \beta i) t}=e^{\alpha t}(\cos \beta t \pm i \sin \beta t)$ Эйлерийн томъёог ашиглавал: $$\begin{aligned}\bar{x}_1=e^{-6 t} \cos t, & \bar{x}_2=e^{-6 t} \sin t, \\ \bar{y}_1=e^{-6 t}(\cos t-\sin t), & \bar{y}_2=e^{-6 t}(\cos t+\sin t) . \end{aligned}$$
Системийн ерөнхий шийд: $$ x=C_1 \bar{x}_1+C_2 \bar{x}_2, \quad y=C_1 \bar{y}_1+C_2 \bar{y}_2$$ буюу $$\begin{aligned} & x=e^{-6 t}\left(C_1 \cos t+C_2 \sin t\right), \\ & y=e^{-6 t}\left(C_1(\cos t-\sin t)+C_2(\cos t+\sin t)\right) .\end{aligned}$$
3. Тогтмолыг (вариацлах) хувьсгах аргаар бод: $$y^{\prime \prime}-y=\frac{2 e^x}{e^x-1}.$$
Бодолт. Харгалзах нэгэн төрлийнтэгшитгэлийг бодвол: $$y^{\prime \prime}-y=0, \quad \lambda^2-1=0, \quad \lambda_1=-1, \quad \lambda_2=1 .$$ Нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийд $$y=C_1 e^{-x}+C_2 e^x .$$
$C_1$, $C_2-$үүдийг $x$-ээс хамаарсан функц гэе: $$y=C_1(x) e^{-x}+C_2(x) e^x .$$
$C_1(x)$, $C_2(x)$-г боддог
$$\left.\begin{array}{l}C_1^{\prime}(x) y_1+C_2^{\prime}(x) y_2=0, \\ C_1^{\prime}(x) y_1^{\prime}+C_2^{\prime}(x) y_2^{\prime}=f(x)\end{array}\right\}$$ системээс: $$\left.\begin{array}{rl} C_1^{\prime}(x) e^{-x}+C_2^{\prime}(x) e^x & =0, \\ -C_1^{\prime}(x) e^{-x}+C_2^{\prime}(x) e^x & =2 e^x /\left(e^x-1\right) . \end{array}\right\}$$
Эхлээд $C_2^{\prime}(x), C_1^{\prime}(x)$-үүд, дараа нь $C_2(x), C_1(x)$-үүдийг олбол: $$\begin{gathered} 2 C_2^{\prime}(x) e^x=\frac{2 e^x}{e^x-1}, \quad C_2^{\prime}=\frac{1}{e^x-1}, \\ C_2(x)=\int \frac{d x}{e^x-1}=\left|\begin{array}{c} t=e^x, x=\ln t, \\ d x=d t / t \end{array}\right|=\int \frac{d t}{t(t-1)}= \\ =\int \frac{d t}{t-1}-\int \frac{d t}{t}=\ln |t-1|-\ln |t|+C_2= \\ =\ln \left|\frac{t-1}{t}\right|+C_2=\ln \left|\frac{e^x-1}{e^x}\right|+C_2, \\ C_1^{\prime}(x)=-C_2^{\prime}(x) e^{2 x}=-e^{2 x} /\left(e^x-1\right), \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} C_1(x)=-\int \frac{e^{2 x}}{e^x-1} d x=\left|\begin{array}{c} t=e^x, d t=e^x d x \\ x=\ln t \end{array}\right|= \\ =-\int \frac{t d t}{t-1}=-\int \frac{t-1+1}{t-1} d t=-t-\ln |t-1|+C_1= \\ =-e^x-\ln \left|e^x-1\right|+C_1 . \end{gathered}$$ Эндээс хайж буй ерөнхий шийд: $$\begin{aligned} y & =\left(-e^x-\ln \left|e^x-1\right|+C_1\right) e^{-x}+\left(\ln \left|\frac{e^x-1}{e^x}\right|+C_2\right) e^x= \\ & =C_1 e^{-x}+C_2 e^x+e^x \ln \left|\frac{e^x-1}{e^x}\right|-e^{-x} \ln \left|e^x-1\right|-1.4 \end{aligned}$$
4. $P(1,2)$ цэгийг дайрах дараахь нөхцлийг хангах муруйн тэгшитгэлийг бич: муруйн дурын цэг дэх радиус вектор, энэ цэг дэх шүргэгч шулуун, абсцисс тэнхлэгээр таслагдах гурвалжны талбай 2.
Бодолт. Зургаас харахад, $|O A|=|O B|+|A B|=x+|A B|$. $B M A$ гурвалжингаас:
$$\begin{gathered} \frac{|B A|}{y}=\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)=-\operatorname{ctg} \alpha, \quad|B A|=-y \operatorname{ctg} \alpha \\ |B A|=-\frac{y}{\operatorname{tg} \alpha}=-\frac{y}{d y / d x}=-y \frac{d x}{d y},|O A|=|O B|+|B A|=x-y \frac{d x}{d y} \\ S_{O M A}=0,5|O A||M B|=2 .\end{gathered}$$
Сүүлийн тэнцэлд $|O A|$, $|M B|$-уудын илэрхийлэлүүдийг орлуулахад дараахь дифференциал тэгшитгэл үүснэ: $$\begin{gathered}\frac{1}{2}\left(x-y \frac{d x}{d y}\right) y=2, \quad x y-y^2 \frac{d x}{d y}=4, \quad y^2 \frac{d x}{d y}=x y-4, \\\frac{d x}{d y}-\frac{x}{y}=-\frac{4}{y^2},\end{gathered}$$ гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн, $x=x(y)$ функцийн хувьд шугаман тэгшитгэл үүслээ. Үүнийг $x=u v$ орлуулгаар бодвол: $$\begin{gathered} u^{\prime} v+u v^{\prime}-\frac{u v}{y}=-\frac{4}{y^2}, \quad u^{\prime} v+u\left(\frac{d v}{d y}-\frac{v}{y}\right)=-\frac{4}{y^2}, \\ \frac{d v}{d y}-\frac{v}{y}=0, \quad \frac{d v}{v}=\frac{d y}{y}, \quad \int \frac{d v}{v}=\int \frac{d y}{y}, \quad \ln |v|=\ln |y|, \quad v=y, \\ \frac{d u}{d y} y=-\frac{4}{y^2}, \quad d u=-\frac{4 d y}{y^3}, \quad u=\frac{2}{y^2}+C, \\ x=\left(\frac{2}{y^2}+C\right) y=C y+\frac{2}{y} .\end{gathered}$$ Хайж буй муруй $P(1,2)$ цэгийг дайрах тул $1=2 C+1, C=0$. Иймд түүний тэгшитгэл $x=2 / y$ буюу $x y=2$ гэсэн гипербол гарч байна.
