1. Өгөгдсөн оригиналаар дүрийг ол (лапласын хувиргалт дахь):$$f(t)=\left\{\begin{array}{l} 0,\,\, t<0\text { үед }, \\ M_0+M_1 t+M_2 t^2+M_3 t^3+ \\ +e^{\alpha t}((A t+B) \sin \omega t+(C t+D) \cos \omega t)+ \\ +E e^{\alpha t} \sigma_0(t)+F \delta(t)+G \delta_1(t),\,\, t \geq 0 \text { үед }. \end{array}\right.$$ $\alpha, \omega, M_i(i=0,1,2,3), A, B, C, D, E, F, G$ параметрүүдийн утгыг хүснэгт 1-т үзүүлэв.
2. Функциин дүрийг ол:
$$f(t)=\left\{\begin{array}{l} f_1(t), \,\, 0 \leq t<t_1 \text { үед }, \\ f_2(t), \,\, t_1 \leq t<t_2 \text { үед }, \\ 0, \quad t<0 \text { ба } t \geq t_2 \text { үед }.\end{array}\right.$$ $f_1(t), f_2(t)$ функцууд болон $t_1, t_2$ параметруудын утгыг хүснэгт 2-т үзүүлэв.
3. $$\frac{A p^2+B p+C}{(p+a)\left(p^2+b p+c\right)}$$ дүрээр оригиналыг ол. $A, B, C, a, b, c$ коэфифиецнтуудын утгыг хүснэгт 3-т үзүүлэв.
Бодсон жишээ
1. Өгөгдсөн $f(t)$ оригиналаар $F(p)$ дүрийг ол. $f(t)$ функцийг хүснэгт.1-ийн вариант-1.30-аас авна .
Хүснэгт.1-ийн сүүлийн мөрөөс $\alpha=2, \omega=0$, $M_0=0$, $M_1=2$, $M_2=0$, $M_3= -1$, $E=G=0$, $F=1, A=B=0$, $C=2, D=-1$ коэффициентуудаа авбал:
$$f(t)=2 t-t^3+e^{2 t}(2 t-1)+\Delta(t) .$$
$F(p)$ дүрийг олохдоо нэмэгдэхүүн болгоны дүрийг оригинал-дүрийн хүснэгтээс олбол:
$$t \doteqdot \frac{1}{p^2}, t^3 \doteqdot \frac{3 !}{p^4}, t e^{2 t} \doteqdot \frac{1}{(p-2)^2}, e^{2 t} \doteqdot \frac{1}{p-2}, \delta(t) \doteqdot 1 .$$
Шугаман чанараар: $$F(p)=\frac{2}{p^2}-\frac{6}{p^4}+\frac{2}{(p-2)^2}-\frac{1}{p-2}+1 .$$
2. Функциин дүрийг ол:
$$f(t)= \begin{cases}2 t & \text {, } 0 \leq t<\pi, \\ 2(2 \pi-t) & \text {, } \pi \leq t<2 \pi, \\ 0 & \text {, } t<0 \text { и } t \geq 2 \pi .\end{cases}$$
Хевисайдын нэгж функцээр $f(t)$-г дараахь хэлбэртэй бичиж болно:
$$\begin{gathered} f(t)=\left(\sigma_0(t)-\sigma_0(t-\pi)\right) \cdot 2 t+\left(\sigma_0(t-\pi)-\sigma_0(t-2 \pi)\right) \times \\ \times 2(2 \pi-t)=2 \sigma_0(t) t-2 \sigma_0(t-\pi) t+2 \sigma_0(t-\pi)(2 \pi-t)- \\ -2 \sigma_0(t-2 \pi)(2 \pi-t)=2 \sigma_0(t) t-4 \sigma_0(t-\pi)(t-\pi)+ \\ +2 \sigma_0(t-2 \pi)(t-2 \pi) .\end{gathered}$$
$\sigma_0(t) \doteqdot \frac{1}{p}$ ба $\sigma_0(t) t \doteqdot \frac{1}{p^2}$ тул хожимдлын теоремоор:
$$\sigma_0(t-\pi)(t-\pi) \doteqdot e^{-\pi p} \frac{1}{p^2}, \sigma_0(t-2 \pi)(t-2 \pi) \doteqdot e^{-2 \pi p} \frac{1}{p^2} .$$ Эндээс $$\begin{gathered} f(t) \doteqdot 2 \frac{1}{p^2}-4 e^{-\pi p} \frac{1}{p^2}+2 e^{-2 \pi p} \frac{1}{p^2}=\frac{2}{p^2}\left(1-2 e^{-\pi p}+e^{-2 \pi p}\right)= \\ =\frac{2}{p^2}\left(1-e^{-\pi p}\right)^2 .\end{gathered}$$
3. Өгөгдсөн дүрээр $f(t)$ оригиналыг ол: $$F(p)=\frac{5 p^2+5 p-58}{(p-4)\left(p^2+2 p-3\right)} .$$ Хуваарийг шугаман үржигдэхүүнд задлаад бутархайгаа энгийн рационал бутархайнуудын нийлбэрт бичвэл:
$$\begin{gathered} \frac{5 p^2+5 p-58}{(p-4)\left(p^2+2 p-3\right)}=\frac{5 p^2+5 p-58}{(p-4)(p-1)(p+3)}= \\ =\frac{A}{p-4}+\frac{B}{p-1}+\frac{C}{p+3} .\end{gathered}$$
Тэнцлийн баруун талын бутархайнуудыг ерөнхий хуваарьт оруулж, тэнцлийн хоёр талын хүртвэрүүдээ тэнцүүлбэл:
$$\begin{aligned}5 p^2+5 p-58= & A(p-1)(p+3)+B(p-4)(p+3)+ \\ & +C(p-4)(p-1) .\end{aligned}$$
Үүний баруун, зүүн талд хуваарийг тэглэх утгуудыг дэс дараалан орлуулж $A, B, C$ коэффициентудыг бодох шугаман тэшитгэлийн систем үүснэ:
$$\begin{array}{c|rl} p=4 & 42=21 A, & A=2, \\ p=1 & -48=-12 B, & B=4, \\ p=-3 & -28=-28 C, & C=1 .\end{array}$$
Иймд,
$$F(p)=\frac{2}{p-4}+\frac{4}{p-1}+\frac{1}{p+3} .$$
Оригинал-дүрийн хүснэгтээс:
$$f(t)=2 e^{4 t}+4 e^t+e^{-3 t}$$
