1. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийг оператор аргаар бод: $$\alpha \ddot{x}+\beta \dot{x}+\gamma x=f(t), x\left(t_0\right)=A, \dot{x}\left(t_0\right)=B .$$ $f(t)$ функц ба $\alpha, \beta, \gamma, t_0, x\left(t_0\right)$, $\dot{x}\left(t_0\right)$ коэффициентуудын утгыг хүснэгтэд өгөв.
2. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системийг оператор аргаар бод: $$\left.\begin{array}{ll}a_1 \dot{x}+b_1 \dot{y}+c_1 x+d_1 y=f_1(t), & x(0)=A, \\ a_2 \dot{x}+b_2 \dot{y}+c_2 x+d_2 y=f_2(t), & y(0)=B .\end{array}\right\}$$ $f_1(t), f_2(t)$ функц болон $a_k, b_k, c_k, d_k,(k=1,2), A, B$, $x(0), y(0)$ утгуудыг хүснэгтэд өгөв.
Бодсон жишээ.
1. $x(0)=0$, $\dot{x}(0)=1$ анхны нөхцөлтэй $\ddot{x}-\dot{x}=t^2$ дифференциал тэгшитгэлийг оператор аргаар бод.
Оригинал-дүрийн чанар болон хүснэгтээс дүрийг олбол: $$\dot{x}(t) \doteqdot p X(p), \ddot{x}(t) \doteqdot p^2 X(p)-1, X(p) \doteqdot x(t) ; t^2 \doteqdot 2 / p^3 \text {. }$$ $\left(p^2-p\right) X(p)=1+2 / p^3$ оператор тэгшитгэл гарган авлаа. Үүнийг $X(p)$-ийн хувьд бодвол: $$X(p)=\frac{p^3+2}{p^4(p-1)} .$$ Гарган авсан рационал бутархайгаа тодорхойгүй коэффициенттэй энгийн бутархайнуудад задалъя: $$\frac{p^3+2}{p^4(p-1)}=\frac{A_1}{p^4}+\frac{A_2}{p^3}+\frac{A_3}{p^2}+\frac{A_4}{p}+\frac{B}{p-1} .$$ Тэнцлийн баруун талын нийлбэрийг ерөнхий хуваарьт оруулаад, тэнцлийн хоёр талийн хүртвэрээ тэнцүүлбэл: $$\begin{gathered} p^3+2=A_1(p-1)+A_2 p(p-1)+A_3 p^2(p-1)+ \\+A_4 p^3(p-1)+B p^4 .\end{gathered}$$ Энэ тэнцлийн хоёр талд, хуваарийг тэглэгч $p_1=0, p_2=1$ утгуудын дэс дараалан орлуулааад дараа нь, хоёр талын $p^4, p^3, p^2$ зэргүүдийн өмнөх коэффициентуудыг тэнцүүлбэл систем тэгшитгэл үүснэ. Үүнийг бодож коэффициентуудаа олно: $$\begin{array}{l|ll} p=0 & 2=-A_1, & A_1=-2, \\p=1 & 3=B, & B=3, \\ p^4 & 0=A_4+B, & A_4=-3, \\ p^3 & 1=A_3-A_4, & A_3=-2, \\ p^2 & 0=A_2-A_3, & A_2=A_3=-2 . \end{array}$$ Олсон коэффициентуудаа $X(p)$-ийн илэрхийлэлд орлуулбал: $$X(p)=-\frac{2}{p^4}-\frac{2}{p^3}-\frac{2}{p^2}-\frac{3}{p}+\frac{3}{p-1} .$$ Оригинал-дүрийн чанар болон хүснэгтээс оригиналыг олбол:$$ x(t)=3 e^t-3-2 t-t^2-t^3 / 3 .$$
2. $x(0)=0, y(0)=0$ анхны нөхцөлтэй $$\left.\begin{array}{l} 4 \dot{x}+\dot{y}+3 x=0, \\ \dot{x}+3 \dot{y}+2 y=1 \end{array}\right\}$$ дифферециал тэгшитгэлийн системийг оператор аргаар бод.
Оригинал-дүрийн чанараас: $$ \dot{x}(t) \doteqdot p X(p), \dot{y}(t) \doteqdot p Y(p), $$ энд $X(p) \doteqdot x(t) ; Y(p) \doteqdot y(t) ; 1 \doteqdot 1 / p$. Дараахь оператор тэгшитгэлийн систем үүснэ: $$ \left.\begin{array}{l} (4 p+3) X+p Y=0 \\ p X+(3 p+2) Y=1 / p\end{array}\right\}$$ Үүнийг $X$ ба $Y$-ийн хувьд бодвол: $$X(p)=\frac{-1}{11 p^2+17 p+6}, Y(p)=\frac{4 p+3}{p\left(11 p^2+17 p+6\right)} .$$ $X(p), Y(p)$-ийг илэрхийлэх рационал бутархайг, хуваарийг үл задрах үржвэрүүдэд задалж, тодорхой бус коэффициентуудтай энгийн бутархайн нийлбэрт задалж бичвэл:
$$\begin{gathered}X(p)=\frac{1}{11(p+6 / 11)(p+1)}=\frac{A_1}{p+6 / 11}+\frac{B_1}{p+1}, \\ Y(p)=\frac{1}{11 p(p+6 / 11)(p+1)}=\frac{A_2}{p+6 / 11}+\frac{B_2}{p+1}+\frac{C_2}{p} .\end{gathered}$$ Тодорхойгүй байгаа коэффициентуудаа бодвол:$$\left.\begin{array}{l}X(p)=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{p+1}-\frac{1}{p+6 / 11}\right), \\ Y(p)=\frac{1}{6 p}+\frac{1}{5(p+1)}-\frac{11}{6(p+6 / 11)} .\end{array}\right\}$$ Оригинал-дүрийн чанар болон хүснэгтээс оригиналыг олбол: $$\left.\begin{array}{l} x(t)=\frac{1}{5}\left(e^{-t}-e^{-\frac{6}{11} t}\right), \\ y(t)=\frac{1}{6}+\frac{1}{5} e^{-t}-\frac{11}{6} e^{-\frac{6}{11} t} .\end{array}\right\}$$
3. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол: $$x^{\prime \prime \prime}-6 x^{\prime \prime}+11 x^{\prime}-6 x=12 t^2 e^{3 t}-e^{2 t} .$$ Дүрд шилжвэл: $$\begin{gathered}x^{\prime} \doteqdot p X-x(0), x^{\prime \prime} \doteqdot p^2 X-p x(0)-x^{\prime}(0), \\x^{\prime \prime \prime} \doteqdot p^3 X-p^2 x(0)-p x^{\prime}(0)-x^{\prime \prime}(0), \\12 t^2 e^{3 t}-e^{2 t} \doteqdot \frac{24}{(p-3)^3}-\frac{1}{p-2} .\end{gathered}$$ Оператор тэгшитгэлийг бичвэл: $$\begin{gathered}p^3 X-p^2 x(0)-p x^{\prime}(0)-x^{\prime \prime}(0)-6 p^2 X+6 p x(0)+6 x^{\prime}(0)+ \\+11 p X-11 x(0)-6 X=\frac{24}{(p-3)^3}-\frac{1}{p-2},\end{gathered}$$ буюу энгийн хувиргалт хийвэл$$\begin{gathered} X \left(p^3-6 p^2+11 p-6\right)=p^2 x(0)+p x^{\prime}0)+x^{\prime \prime}(0)-6 p x(0)- \\-6 x^{\prime}(0)+11 x(0)+\frac{-p^3+9 p^2-3 p-21}{(p-3)^3(p-2)} .\end{gathered}$$ Энд $p^3-6 p^2+11 p-6=(p-1)(p-2)(p-3)$ задаргааг ашиглавал: $$\begin{gathered}X(p)=\frac{p^2 x(0)+p x^{\prime}(0)+x^{\prime \prime}(0)-6 p x(0)-6 x^{\prime}(0)+11 x(0)}{(p-1)(p-2)(p-3)}+ \\ +\frac{-p^3+9 p^2-3 p-21}{(p-3)^4(p-2)^2(p-1)} .\end{gathered}$$ $X(p)=X_1(p)+X_2(p)$ гэе, энд $$\begin{gathered}X_1(p)=\frac{p^2 x(0)+p x^{\prime}(0)+x^{\prime \prime}(0)-6 p x(0)-6 x^{\prime}(0)+11 x(0)}{(p-1)(p-2)(p-3)}, \\ X_2(p)=\frac{-p^3+9 p^2-3 p-21}{(p-3)^4(p-2)^2(p-1)} .\end{gathered}$$ $X_1(p)$, $X_2(p)$-үүдийг энгийн бутархайн нийлбэрт бичье: $$\begin{gathered}X_1(p)=\frac{M}{p-1}+\frac{N}{p-2}+\frac{K}{p-3}, \\ X_2(p)=\frac{A}{(p-3)^4}+\frac{B}{(p-3)^3}+\frac{C}{(p-3)^2}+\frac{D}{p-3}+\frac{E}{(p-2)^2}+ \\ +\frac{F}{p-2}+\frac{G}{p-1}, \\ -p^3+9 p^2-3 p-21 \equiv A(p-2)^2(p-1)+ \\ +B(p-3)(p-2)^2(p-1)+C(p-3)^2(p-2)^2(p-1)+ \\ +D(p-3)^3(p-2)^2(p-1)+E(p-3)^4(p-1)+ \\ +F(p-3)^4(p-2)(p-1)+G(p-3)^4(p-2)^2 .\end{gathered}$$ Эдгээр адитгалаас: $A=12, B=-18, C=21$, $D=-23, E=1, F=24, G=-1$. Ингэж $$\begin{gathered}\frac{-p^3+9 p^2-3 p-21}{(p-3)^4(p-2)^2(p-1)}=\frac{12}{(p-3)^4}-\frac{18}{(p-3)^3}+\frac{21}{(p-3)^2}-\frac{23}{p-3}+ \\+\frac{1}{(p-2)^2}+\frac{24}{p-2}-\frac{1}{p-1} .\end{gathered}$$ Иймд $$\begin{aligned}X(p)=\frac{M}{p-1} & +\frac{N}{p-2}+\frac{K}{p-3}+\frac{12}{(p-3)^4}-\frac{18}{(p-3)^3}+\frac{21}{(p-3)^2}- \\ & -\frac{23}{p-3}+\frac{1}{(p-2)^2}+\frac{24}{p-2}-\frac{1}{p-1} .\end{aligned}$$ $C_1=M-1, C_2=N+24, C_3=K-23$ тэмдэглэгээ оруулбал: $$\begin{aligned}X(p)=\frac{C_1}{p-1}+ & \frac{C_2}{p-2}+\frac{C_3}{p-3}+\frac{12}{(p-3)^4}-\frac{18}{(p-3)^3}+ \\& +\frac{21}{(p-3)^2}+\frac{1}{(p-2)^2} .\end{aligned}$$ $X(p)$ дүрээс $x(t)$ оригиналд дараахь томъёонуудаар шилжинэ: $$\begin{gathered}\frac{1}{p-1} \doteqdot e^t, \frac{1}{p-2} \doteqdot e^{2 t}, \frac{1}{p-3} \doteqdot e^{3 t} \\ \frac{1}{(p-2)^2} \doteqdot t e^{2 t}, \frac{12}{(p-3)^4} \doteqdot \frac{12 t^3}{3 !} e^{3 t}=2 t^3 e^{3 t}, \\ \frac{-18}{(p-3)^3} \doteqdot-\frac{18 t^2}{2 !} e^{3 t}=-9 t^2 e^{3 t}, \frac{21}{(p-3)^2} \doteqdot \frac{21 t}{1 !} e^{3 t}=21 t e^{3 t}\end{gathered}$$ Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд $$x(t)=C_1 e^t+C_2 e^{2 t}+C_3 e^{3 t}+t e^{2 t}+\left(2 t^3-9 t^2+21 t\right) e^{3 t} .$$
4. $x(0)=y(0)=y^{\prime}(0)=0, x^{\prime}(0)=1$ анхны нөхцөлтэй $$\left.\begin{array}{l} x^{\prime \prime}+x^{\prime}+y^{\prime \prime}-y=e^t, \\ x^{\prime}+2 x-y^{\prime}+y=e^{-t}\end{array}\right\}$$ системийн тухайн шийдийг ол.
Дүрд шилжвэл: $$\begin{gathered}x(t) \doteqdot X(p), x^{\prime}(t) \doteqdot p X(p), x^{\prime \prime}(t) \doteqdot p^2 X(p)-1, e^t \doteqdot \frac{1}{p-1}, \\ y(t) \doteqdot Y(p), y^{\prime}(t) \doteqdot p Y(p), y^{\prime \prime}(t) \doteqdot p^2 Y(p), e^{-t} \doteqdot \frac{1}{p+1} .\end{gathered}$$ Систем оператор тэгшитгэлийг бичвэл: $$\left.\begin{array}{r}p^2 X-1+p X+p^2 Y-Y=\frac{1}{p-1}, \\ p X+2 X-p Y+Y=\frac{1}{p+1},\end{array}\right\}$$ буюу $$\left.\begin{array}{r} p(p+1) X+\left(p^2-1\right) Y=\frac{1}{p-1}, \\ (p+2) X-(p-1) Y=\frac{1}{p+1} .\end{array}\right\}$$ Энэ системийг бодвол: $$ X(p)=\frac{2 p-1}{2(p-1)(p+1)^2}, Y(p)=\frac{3 p}{2\left(p^2-1\right)^2} .$$ $X(p)$-ийн илэрхийлэлийг энгийн бутархайд задалъя : $$\left.\begin{array}{c}\frac{2 p-1}{(p-1)(p+1)^2}=\frac{A}{p-1}+\frac{B}{(p+1)^2}+\frac{C}{p+1}, \\2 p-1=A(p+1)^2+B(p-1)+C\left(p^2-1\right), \\A=\frac{1}{4}, B=\frac{3}{2}, C=-\frac{1}{4} ; \\X(p)=\frac{1}{8} \frac{1}{p-1}+\frac{3}{4} \frac{1}{(p+1)^2}-\frac{1}{8} \frac{1}{p+1}=\frac{1}{4} \frac{1}{p^2-1}+\frac{3}{4} \frac{1}{(p+1)^2}, \\ Y(p)=\frac{3 p}{2\left(p^2-1\right)^2} .\end{array}\right\}$$ Оригиналд шилжье: $$\frac{1}{p+1} \doteqdot e^{-t}, \frac{1}{p^2-1} \doteqdot \operatorname{sh} t .$$ Дүрийг дифф.-лах теоремоор:$$\left(\frac{1}{p+1}\right)^{\prime} \doteqdot-t e^{-t} \text { ба }\left(\frac{1}{p^2-1}\right)^{\prime} \doteqdot-t \operatorname{sh} t,$$ буюу $$\frac{1}{(p+1)^2} \doteqdot t e^{-t} \text { ба } \frac{2 p}{\left(p^2-1\right)^2} \doteqdot t \text { sh } t .$$ Системийн тухайн шийд $$\left.\begin{array}{l}x(t)=\frac{1}{4} \operatorname{sh} t+\frac{3}{4} t e^{-t} \\y(t)=\frac{3}{4} t \operatorname{sh} t\end{array}\right\}$$
