1. Дүрийн графикаар оригиналыг ол:
2. Өргөтгөсөн интегралыг хязгаарын теоремоор бод:
2.1. $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a t}-e^{-b t}}{t} d t, a>0, b>0 .\left(\right.$ Хариу: $\ln \frac{b}{a}$.)
2.2. $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a t} \sin b t}{t} d t, a>0, b>0$. (Хариу: $\left.\operatorname{arctg} \frac{b}{a}.\right)$
2.3. $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a t}-e^{-\beta t}}{t} \sin m t d t, a>0, \quad \beta>0, \quad m>0$. (Хариу: $\operatorname{arctg} \frac{\beta}{m}-\operatorname{arctg} \frac{\alpha}{m}$.)
2.4. $\int_0^{+\infty} \frac{\cos (t / 3) \sin t}{t} d t$. (Хариу: $\frac{\pi}{2}$.)
2.5. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin a t \sin b t}{t} d t, a>0, b>0$. (Хариу: $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{a+b}{a-b}\right|$.)
2.6. $\int_0^{+\infty} e^{-a x} \sin b x d x, a>0, b>0$. (Хариу: $\frac{b}{a^2+b^2}$.)
2.7. $\int_0^{+\infty} e^{-4 x} \sin 3 x \cos 2 x d x$. (Хариу: $\frac{63}{697}$.)
2.8. $\int_0^{+\infty} e^{-a x} \cos b x d x$. (Хариу: $\left.\frac{a}{a^2+b^2}.\right)$
2.9. $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x} \sin x}{x} d x$. (Хариу: $\left.\operatorname{arctg} \frac{1}{a}.\right)$
2.10. $\int_0^{+\infty} e^{-3 x} \cos 3 x \cos 4 x d x$. (Хариу: $\frac{51}{290}$.)
Парсевалийн томъёогоор өргөтгөсөн интегралыг бод:
2.11. $\int_0^{+\infty} \frac{\cos \alpha x-\cos \beta x}{x} d x$. (Хариу: $\ln \frac{\beta}{\alpha}$.)
2.12. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x-\alpha \sin x}{x} d x$. (Хариу: $\left.-\alpha \ln \alpha.\right)$
2.13. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^4 x}{x^4} d x$. (Хариу: $\frac{\pi}{3}$.)
2.14. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin a x \sin ^2 x}{x^3} d x, 0<a<2$. (Хариу: $\frac{\pi a}{8}(4-a)$.)
2.15. $\int_0^{+\infty} \sin x^2 d x .\left(\right.$ Хариу: $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.)
2.16. $\int_0^{+\infty} \cos x^2 d x .\left(\right.$ Хариу: $\left.\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}.\right)$
2.17. $\int_0^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^3} d x$. (Хариу: $\frac{\pi}{4}$.)
2.18. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^3 x}{x^2} d x .\left(\right.$ Хариу: $\left.\frac{3}{16} \ln 3.\right)$
2.19. $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x} \sin ^3 b x}{x} d x$. (Хариу: $\left.\frac{1}{4}\left(3 \operatorname{arctg} \frac{b}{a}-\operatorname{arctg} \frac{3 b}{a}\right).\right)$
2.20. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^3 x}{x^3} d x .\left(\right.$ Хариу: $\left.\frac{3}{8} \pi.\right)$
2.21. $\int_0^{+\infty}\left(\frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x}\right)^2 d x .\left(\right.$ Хариу: $\left.\ln \frac{(2 a)^{2 a}(2 b)^{2 b}}{(a+b)^{2(a+b)}}.\right)$
2.22. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x \cos x}{x} d x$. (Хариу: $\frac{\pi}{4}$.)
2.23. $\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{(x+a)^5} d x, a \neq 0$. (Хариу: $\frac{1}{4 a}$.)
2.24. $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x^2}-e^{-b x^2}}{x^2} d x$. (Хариу: $\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a})$. Заавар. $x^2=t$ орлуулага хий.)
2.25. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x \cos 2 x}{x} d x$. (Хариу: 0.$)$
2.26. $\int_0^{+\infty} \frac{1-e^{-a x^2}}{x e^{x^2}} d x$. (Хариу: $\frac{1}{2} \ln (a+1)$. Заавар. $x^2=t$ орлуулага хий.)
Лапласын интегралаар дүрийг нь урьдчилан олж өргөтгөсөн интегралыг бод:
2.27. $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos a t}{t^2} d t$. (Хариу: $\frac{\pi}{2}$ a.)
2.28. $\int_0^{+\infty} \frac{t \sin a t}{t^2+b^2} d t$. (Хариу: $\left.\frac{\pi}{2} e^{-a b}.\right)$
2.29. $\int_0^{+\infty} \frac{\cos a t}{t^2+b^2} d t$. (Хариу: $\frac{\pi}{2 b} e^{-a b}$.)
2.30. $\int_0^{+\infty} \frac{\sin a t}{t\left(t^2+b^2\right)} d t$. (Хариу: $\left.\frac{\pi}{2 b^2}\left(1-e^{-a b}\right).\right)$
Бодсон жишээ.
1. Дүрийн графикаар оригиналыг ол:
$$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text {, } x<2, \\ 1 \text {, } 2 \leq x<4, \\ -1 \text {, } 4 \leq x<6, \\ 0 \text {, } x \geq 6 .\end{array}\right.$$
Следовательно, преобразование Лапласа оригинала $f(x)$ имеет вид
$$\begin{gathered}\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\int_0^{+\infty} \frac{d p}{p^2+1}=\lim _{\beta \rightarrow \infty} \int_0^\beta \frac{d p}{p^2+1}=\left.\lim _{\beta \rightarrow \infty} \operatorname{arctg} p\right|_0 ^\beta=\\ =\lim _{\beta \rightarrow \infty} \operatorname{arctg} \beta=\frac{\pi}{2} .
\end{gathered}$$
2. Пользуясь предельными теоремами, вычислить несобственный интеграл $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$.
Воспользовавшись формулой $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{x} d x=\int_0^{+\infty} F(p) d p$, с учетом того, что $\sin x \doteqdot \frac{1}{p^2+1}$, получим: $$\begin{gathered}\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\int_0^{+\infty} \frac{d p}{p^2+1}=\lim _{\beta \rightarrow \infty} \int_0^\beta \frac{d p}{p^2+1}=\left.\lim _{\beta \rightarrow \infty} \operatorname{arctg} p\right|_0 ^\beta=\\ =\lim _{\beta \rightarrow \infty} \operatorname{arctg} \beta=\frac{\pi}{2} .
\end{gathered}$$
3. Найти изображение $F(p)$ оригинала $f(t)$ с периодом $T=2$, если $f(t)$ задан графически (рис. 16.13).
Оригинал $f(t)$ можно аналитически изобразить на интервале-периоде следующим образом:
$$f(t)=\left\{\begin{array}{l}
0 \quad \text { при }-\infty<t<0, \\
t \quad \text { при } 0 \leq t<1, \\
1-t \text { при } 1 \leq t<2 .
\end{array}\right.$$
Поэтому изображение данного периодического оригинала в соответствии с п. 6 прил. 1 найдем по формуле
$$\begin{gathered}
F(p)=\frac{1}{1-e^{-p T}} \int_0^T f(t) e^{-p t} d t= \\
=\frac{1}{1-e^{-2 p}}\left(\int_0^1 t e^{-p t} d t+\int_1^2(1-t) e^{-p t} d t\right) .
\end{gathered}$$
Последние интегралы вычислим с помощью формулы интегрирования по частям:
$$\int_0^1 t e^{-p t} d t=-\left.\frac{1}{p}\left(t e^{-p t}+\frac{1}{p} e^{-p t}\right)\right|_0 ^1=\frac{1}{p^2}\left(1-e^{-p}\right)-\frac{1}{p} e^{-p}$$
$$\begin{gathered}
\int_1^2(1-t) e^{-p t} d t=-\left.\frac{1}{p}\left((1-t) e^{-p t}-\frac{1}{p} e^{-p t}\right)\right|_1 ^2= \\
=\frac{1}{p} e^{-2 p}+\frac{1}{p^2} e^{-2 p}-\frac{1}{p^2} e^{-p} .
\end{gathered}$$
Подстановка найденных интегралов в выражение для $F(p)$ приводит к ответу:
$$\begin{gathered} F(p)=\frac{1}{1-e^{-2 p}}\left(\frac{1}{p^2}\left(1-2 e^{-p}+e^{-2 p}\right)-\frac{1}{p}\left(e^{-p}-e^{-2 p}\right)\right)= \\ =\frac{1}{1-e^{-2 p}}\left(\frac{1}{p^2}\left(1-e^{-p}\right)^2-\frac{1}{p} e^{-p}\left(1-e^{-p}\right)\right)= \\ =\frac{1}{1+e^{-p}}\left(\frac{1-e^{-p}}{p^2}-\frac{e^{-p}}{p}\right) .\end{gathered}$$
4. Вычислить несобственный интеграл, предварительно найдя его изображение с помощью интеграла Лапласа и приняв за переменную интегрирования параметр $a$ : $$f(a)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin a t}{t\left(t^2+4\right)} d t .$$ Так как $\int_0^{+\infty} e^{-p a} \sin a t d a=\frac{t}{t^2+p^2}$, то изображение данного несобственного интеграла по переменной $a$ можно представить в следующем виде:
$$\begin{aligned} & F(p)=\int_0^{+\infty} e^{-p a}\left(\int_0^{+\infty} \frac{\sin a t}{t\left(t^2+4\right)} d t\right) d a= \\ & =\int_0^{+\infty}\left(\frac{1}{t\left(t^2+4\right)} \int_0^{+\infty} e^{-p a} \sin a t d a\right) d t= \end{aligned}$$ $$\begin{gathered} =\int_0^{+\infty} \frac{d t}{\left(t^2+4\right)\left(t^2+p^2\right)}=\frac{1}{p^2-4} \int_0^{+\infty}\left(\frac{1}{t^2+4}-\frac{1}{t^2+p^2}\right) d t= \\ =\frac{\pi}{8}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p+2}\right) .
\end{gathered}$$
Найденному изображению соответствует оригинал $$f(a)=\frac{\pi}{8}\left(1-e^{-2 a}\right) .$$
Оператор тоолол сэдвийн нэмэлт бодлогууд
Найти изображение оригинала.
1. $t^2 \sin 2 t$. (Хариу: $\left(12 p^2-16\right) /\left(p^2+4\right)^3$.)
2. $t \cos (t / 2) \cdot\left(\right.$ Хариу: $\left(16 p^2-4\right) /\left(4 p^2+1\right)^2$.)
3. $\left(t^2 / 2\right)$ sh $t$. (Хариу: $\left(3 p^2+1\right) /\left(p^2-1\right)^3$.)
4. $t e^{-2 t} \sin 3 t$. (Хариу: $(6 p+12) /\left((p+2)^2+9\right)^2$.
5. $\left(t^2 / 2\right) e^t \cos t$. (Хариу: $\left(p^3-3 p+2\right) /\left(p^2-2 p+2\right)^3$.)
6. $\int_0^t \frac{1-e^{-x}}{x} d x .\left(\right.$ Хариу: $\frac{1}{p} \ln \left(1+\frac{1}{p}\right)$.)
7. $\int_0^1 \frac{\operatorname{sh} x}{x} d x$. (Хариу: $\frac{1}{2 p} \ln \frac{p+1}{p-1}$.)
8. $\int_0^t \frac{\operatorname{ch} x-1}{x^2} d x$. (Хариу: $\frac{1}{2 p} \ln \frac{p+1}{p-1}+\ln \frac{\sqrt{p^2-1}}{p}$.)
Өгөгдсөн дүрээр оригиналыг ол.
9. $p /\left(\left(p^2+1\right)\left(p^2+2 p+2\right)\right)$. (Хариу: $\quad(1 / 5)(\cos t+2 \sin t-$ $\left.-e^{-t}(\cos t+3 \sin t)\right)$.)
10. $\left(p^2-1\right) /\left(p\left(p^2+4\right)^2\right) \cdot($ Хариу: $(1 / 16)(\cos 2 t+5 t \sin 2 t-1)$.)
11. $\left(p^2+p+1\right) /\left((p-1)^3\left(p^2+1\right)\right) \cdot\left(\right.$ Хариу: $(1 / 4)\left(\left(3 t^2-1\right) e^t+\right.$ $+\sin t+\cos t)$.)
12. $p /\left(p^4-1\right)$. (Хариу: $(1 / 2)(\operatorname{ch} t-\cos t)$.)
13. $\left(p\left(p^4-1\right)\right)^{-1} \cdot($ Хариу: $(1 / 2)(\operatorname{ch} t+\cos t-2)$.)
14. $\left((p-1)\left(p^2+1\right)\right)^{-1} \cdot\left(\right.$ Хариу: $\left.(1 / 2)\left(e^t-\sin t-\cos t\right).\right)$
15. $p\left((p-1)\left(p^2+1\right)\right)^{-1} \cdot\left(\right.$ Хариу: $\left.(1 / 2)\left(e^t+\sin t-\cos t\right).\right)$
16. $\left((p+1)\left(p^2+2 p+2\right)\right)^{-1} \cdot\left(\right.$ Хариу: $e^{-t}(1-\cos t)$.)
Решить задачу, используя методы операционного исчисления.
17. Найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях: $x^{\prime \prime}-9 x=\operatorname{sh} t, x_0=-1, x_0^{\prime}=3$ при $t=0 . \quad$ (Oтвет: $x=(25 / 24) \operatorname{sh} 3 t-\operatorname{ch} 3 t-(1 / 8) \operatorname{sh} t$.)
18. Найти общее решение дифференциального уравнения $x^{\prime \prime}+9 x=\cos 3 t$. (Oтвет: $x=C_1 \cos 3 t+C_2 \sin 3 t+$ $+(1 / 6) t \sin 3 t$.)
19. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:
$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{c} x^{\prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{sh} t-\sin t-t, \\ y^{\prime \prime}+x^{\prime}=\operatorname{ch} t-\cos t, \end{array}\right\} x_0=0, x_0^{\prime}=2, y_0=1, y_0^{\prime}=0 \\
\text { при } t=0 .\left(\text { Oтвет: } x=\operatorname{sh} t+t, y=\cos t-t^2 / 2 .\right) \end{gathered}$$
20. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:
$$ \left.\begin{array}{r} x^{\prime \prime}-y^{\prime}=1, \\ y^{\prime \prime}-x^{\prime}=0 . \end{array}\right\}\left(\text { Oтвет: } \begin{array}{l} x=C_1+C_2 \operatorname{sh} t+C_4(\operatorname{ch} t-1), \\ y=C_1+C_2 \operatorname{ch} t+C_3+C_4 \operatorname{sh} t-t . \end{array}\right)$$
21. Найти общее решение дифференциального уравнения Эйлера:
a) $(1-2 t) x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+(2 t-3) x=0$;
б) $t x^{\prime \prime}-(2 t+1) x^{\prime}+(t+1) x=0$.
(Oтвет: а) $x=C_1 e^t+C_2 t e^{-t}$; б) $x=C_1 t^2 e^t+C_2 e^t$.)
22. Интеграл тэгшитгэлийг бод:
a) $\int \operatorname{ch}(t-\tau) \cdot x(\tau) d \tau=\operatorname{ch} t-\cos t$
б) $\int_0 \operatorname{ch}(t-\tau) \cdot x(\tau) d \tau=t \cos t$;
в) $x(t)=e^t+\int_0^t e^{t-\tau} x(\tau) d \tau$;
г) $x(t)=1-\cos t+\int_0^t \sin (t-\tau) x(\tau) d \tau$.
(Omвет: а) $x(t)=2 \sin t$; б) $x(t)=2 \cos t-1$; в) $x(t)=e^{2 t}$;
г) $x(t)=t^2 / 2$.)
23. Өргөтгөсөн интегралыг бод:
а) $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x} \cos c x}{x} d x, a>0, b>0$;
б) $\int_0^{+\infty} x e^{-a x} \cos b x d x, a>0$;
в) $\int_0^{+\infty} \cos \left(a x^2\right) d x$;
г) $\int_0^{+\infty} \frac{x \sin a x}{x^2+b^2} d x$
д) $\int_0^{+\infty} e^{-a x^2} d x, a>0$;
e) $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{\sqrt{x}} d x, a>0, b>0$;
ж) $\int_0^{+\infty} \frac{\sin a x-\sin b x}{x \sqrt{x}} d x, a>0, b>0$.
(Хариу: а) $\ln \left(\sqrt{b^2+c^2} / a\right)$; б) $\left(a^2-b^2\right) /\left(a^2+b^2\right)^2$; в) $(1 / 2) \sqrt{\pi /(2 a)}$; г) $(\pi / 2) e^{-a b}$; д) $(\pi / 2) / \sqrt{a}$; е) $\sqrt{\pi /(a b)}(\sqrt{b}-\sqrt{a})$; ж) $\sqrt{2 \pi}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.)
